Theorem ltabs 11271

Description: A number which is less than its absolute value is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem ltabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
2		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (abs‘𝐴))
3		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		0red 8046	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7	5, 4, 6	ltled 8164	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
8		absid 11255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
10	2, 9	breqtrd 4060	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴)
11	4	ltnrd 8157	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
12	10, 11	pm2.65da 662	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → ¬ 0 < 𝐴)
13		recn 8031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		abscl 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
17		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 0 < (abs‘𝐴))
18	16, 17	gt0ap0d 8675	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) # 0)
19		abs00ap 11246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
20	3, 13, 19	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
21	18, 20	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 # 0)
22		0re 8045	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		reaplt 8634	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
24	3, 22, 23	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
25	21, 24	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
26	12, 25	ecased 1360	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
27		axltwlin 8113	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < (abs‘𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴))))
28	22, 27	mp3an3 1337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 < (abs‘𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴))))
29	15, 28	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (abs‘𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴))))
30	29	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴)))
31	1, 26, 30	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898   < clt 8080   ≤ cle 8081   # cap 8627  abscabs 11181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-rp 9748  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183

This theorem is referenced by:  abslt  11272  absle  11273  maxabslemlub  11391