Theorem mptsuppdifd 6468

Description: The support of a function in maps-to notation with a class difference. (Contributed by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptsuppdifd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
mptsuppdifd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
mptsuppdifd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mptsuppdifd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptsuppdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptsuppdifd.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	funmpt2 5396	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4	3	funfnd 5388	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5		mptsuppdifd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	5	mptexd 5918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2321	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		mptsuppdifd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
9		suppimacnvfn 6459	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
11	1	mptpreima 5261	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})}
12	10, 11	eqtrdi 2283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815   ∖ cdif 3211  {csn 3694   ↦ cmpt 4176  ^◡ccnv 4753  dom cdm 4754   “ cima 4757  Fun wfun 5351   Fn wfn 5352  (class class class)co 6058   supp csupp 6448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-supp 6449

This theorem is referenced by:  mptsuppd  6469  suppssfvg  6476