Theorem mptexd 5912

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 5910. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mptexd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		mptexg 5910	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ↦ cmpt 4170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  mptsuppdifd  6454  ccatfvalfi  11276  swrdval  11336  pfxval  11362  fnpfx  11365  prdsplusgval  13488  prdsmulrval  13490  qusval  13528  qusex  13530  gsumfzz  13700  grpinvfvalg  13747  grpsubval  13751  grplactfval  13806  gsumfzconst  14050  lspfval  14528  lspex  14535  sraval  14577  2lgslem1  15956  vtxdgfval  16275