Theorem muls1d 8497

Description: Multiplication by one minus a number. (Contributed by Scott Fenton, 23-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
muls1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
muls1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
muls1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 1)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐴))

Proof of Theorem muls1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muls1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		muls1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		1cnd 8095	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdid 8493	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 1)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 1)))
5	1	mulridd 8096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
6	5	oveq2d 5967	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐴))
7	4, 6	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 1)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  1c1 7933   · cmul 7937   − cmin 8250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-setind 4589  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-sub 8252

This theorem is referenced by:  3dvds  12219