Theorem 3dvds 12578

Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
3dvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9626	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3		0zd 9609	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 0 ∈ ℤ)
4		nn0z 9617	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	fzfigd 10820	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
7		ffvelcdm 5815	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
8	7	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
9		10nn 9745	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nnzi 9618	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℤ
11		elfznn0 10473	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		zexpcl 10943	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
15	8, 14	zmulcld 9727	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
16	6, 15	fsumzcl 12116	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
17	6, 8	fsumzcl 12116	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
18	15, 8	zsubcld 9726	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
19		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	9	nncni 9267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℂ
21	19, 20	negsubdi2i 8576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − ;10) = (;10 − 1)
22		9p1e10 9732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
23	22	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 = (9 + 1)
24	23	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
25		9cn 9345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
26	25, 19	pncan3oi 8506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 + 1) − 1) = 9
27	21, 24, 26	3eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(1 − ;10) = 9
28		3t3e9 9415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
29	27, 28	eqtr4i 2258	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 − ;10) = (3 · 3)
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 ∈ ℂ)
31		1re 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
32		10re 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;10 ∈ ℝ
33		1lt10 9868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < ;10
34	31, 32, 33	gtapii 8926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;10 # 1
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 # 1)
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	30, 35, 36	geoserap 12221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) = ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)))
38		0zd 9609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
39		nn0z 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
40		peano2zm 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
42	38, 41	fzfigd 10820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
43		elfznn0 10473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
45		zexpcl 10943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
46	10, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
47	42, 46	fsumzcl 12116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) ∈ ℤ)
48	37, 47	eqeltrrd 2312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ)
49		1z 9623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
50		zsubcl 9638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ) → (1 − ;10) ∈ ℤ)
51	49, 10, 50	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ∈ ℤ
52	31, 33	ltneii 8386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ ;10
53	19, 20	subeq0i 8570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 − ;10) = 0 ↔ 1 = ;10)
54	53	necon3bii 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 − ;10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ;10)
55	52, 54	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ≠ 0
56	10, 36, 13	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
57		zsubcl 9638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (;10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
58	49, 56, 57	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
59		dvdsval2 12504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ (1 − ;10) ≠ 0 ∧ (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
60	51, 55, 58, 59	mp3an12i 1378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
61	48, 60	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)))
62	56	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
63		negsubdi2 8549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((;10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
64	62, 19, 63	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
65	61, 64	breqtrrd 4142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1))
66		peano2zm 9635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10↑𝑘) ∈ ℤ → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
67	56, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
68		dvdsnegb 12522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
69	51, 67, 68	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
70	65, 69	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
71		negdvdsb 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
72	51, 67, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
73	70, 72	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
74	29, 73	eqbrtrrid 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
75		muldvds1 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
76	1, 1, 67, 75	mp3an12i 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
77	74, 76	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
78	12, 77	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
79	14, 66	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
80		dvdsmultr2 12547	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
81	1, 8, 79, 80	mp3an2i 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
82	78, 81	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)))
83	8	zcnd 9722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
84	14	zcnd 9722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
85	83, 84	muls1d 8709	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
86	82, 85	breqtrd 4140	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
87	6, 2, 18, 86	fsumdvds 12556	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
88	15	zcnd 9722	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℂ)
89	6, 88, 83	fsumsub 12166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
90	87, 89	breqtrd 4140	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
91		dvdssub2 12549	. 2 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
92	2, 16, 17, 90, 91	syl31anc 1277	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4114  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8461  -cneg 8462   # cap 8873   / cdiv 8966  3c3 9309  9c9 9315  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ;cdc 9730  ...cfz 10364  ↑cexp 10927  Σcsu 12066   ∥ cdvds 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067  df-dvds 12502

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