ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negcon1ad GIF version

Theorem negcon1ad 8088
Description: Contraposition law for unary minus. One-way deduction form of negcon1 8034. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
negcon1ad.2 (𝜑 → -𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
negcon1ad (𝜑 → -𝐵 = 𝐴)

Proof of Theorem negcon1ad
StepHypRef Expression
1 negcon1ad.2 . 2 (𝜑 → -𝐴 = 𝐵)
2 negidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32negcld 8080 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
41, 3eqeltrrd 2218 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
52, 4negcon1d 8087 . 2 (𝜑 → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))
61, 5mpbid 146 1 (𝜑 → -𝐵 = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  cc 7638  -cneg 7954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-setind 4456  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-sub 7955  df-neg 7956
This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  12956
  Copyright terms: Public domain W3C validator