Theorem negcon1ad 8061

Description: Contraposition law for unary minus. One-way deduction form of negcon1 8007. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
negcon1ad.2	⊢ (𝜑 → -𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
negcon1ad	⊢ (𝜑 → -𝐵 = 𝐴)

Proof of Theorem negcon1ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcon1ad.2	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = 𝐵)
2		negidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 8053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
4	1, 3	eqeltrrd 2215	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2, 4	negcon1d 8060	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))
6	1, 5	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → -𝐵 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ℂcc 7611  -cneg 7927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  12906