Theorem negcld 8571

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 8473	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ℂcc 8125  -cneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  negcon1ad  8579  mulext1  8886  recextlem1  8925  div2subap  9111  prodgt0  9126  negiso  9229  peano2z  9613  zaddcllemneg  9616  infrenegsupex  9926  mul2lt0rlt0  10092  ceiqm1l  10673  expaddzaplem  10944  cjreb  11551  resqrexlemover  11695  minabs  11921  climshft  11989  climshft2  11991  fsumsub  12138  telfsumo2  12153  geosergap  12192  eftlub  12376  efi4p  12403  oexpneg  12563  bitscmp  12644  gcdaddm  12680  pcadd2  13039  gznegcl  13073  mulgdirlem  13870  mulgdir  13871  gsumfzconst  14058  znunit  14807  negcncf  15470  limcimolemlt  15529  dvrecap  15578  dvmptsubcn  15588  sinmpi  15680  cosmpi  15681  sinppi  15682  cosppi  15683  rpcxpneg  15772  apdifflemr  16831