Theorem negcld 8405

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 8307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  ℂcc 7958  -cneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281

This theorem is referenced by:  negcon1ad  8413  mulext1  8720  recextlem1  8759  div2subap  8945  prodgt0  8960  negiso  9063  peano2z  9443  zaddcllemneg  9446  infrenegsupex  9750  mul2lt0rlt0  9916  ceiqm1l  10493  expaddzaplem  10764  cjreb  11292  resqrexlemover  11436  minabs  11662  climshft  11730  climshft2  11732  fsumsub  11878  telfsumo2  11893  geosergap  11932  eftlub  12116  efi4p  12143  oexpneg  12303  bitscmp  12384  gcdaddm  12420  pcadd2  12779  gznegcl  12813  mulgdirlem  13604  mulgdir  13605  gsumfzconst  13792  znunit  14536  negcncf  15192  limcimolemlt  15251  dvrecap  15300  dvmptsubcn  15310  sinmpi  15402  cosmpi  15403  sinppi  15404  cosppi  15405  rpcxpneg  15494  apdifflemr  16188