Theorem sq01 11608

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sq01	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem sq01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = 𝐴)
2		recl 11566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 8318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4, 4	muls1d 8709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐴) − 1)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
6	4, 4	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	4, 6	negsubdi2d 8617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → -((ℜ‘𝐴) − ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
8		imcl 11567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 11061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12	4	sqcld 11061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
13	11	negcld 8588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → -((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
14		replim 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15	14	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2))
17		ax-icn 8238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → i ∈ ℂ)
19	18, 10	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
20		binom2 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
21	4, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
22	16, 1, 21	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
23	18, 10	sqmuld 11075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
24		i2 11029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (i↑2) = -1
25	24	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2))
26	23, 25	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
27	11	mulm1d 8701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
28	26, 27	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
29	28	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)))
30	22, 29	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)))
31		2cnd 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
32	4, 19	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
34	12, 33, 13	add32d 8458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))))
35	30, 34	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))))
36	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
37	4, 18, 10	mul12d 8442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) = (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
38	37	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
39	4, 10	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
40	31, 18, 39	mul12d 8442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
41	38, 40	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
42	41	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
43	35, 36, 42	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
44	3	resqcld 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
45	9	resqcld 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 8671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → -((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
47	44, 46	readdcld 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
48		2re 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
50	3, 9	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	49, 50	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
52		cru 8894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) ∧ (ℑ‘𝐴) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
53	3, 9, 47, 51, 52	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) ∧ (ℑ‘𝐴) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
54	43, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) ∧ (ℑ‘𝐴) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
55	54	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (ℜ‘𝐴) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)))
56	55	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) = (ℜ‘𝐴))
57	12, 13, 56	mvlladdd 8655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → -((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) − ((ℜ‘𝐴)↑2)))
58	4	sqvald 11060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
59	58	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℜ‘𝐴) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴) − ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))))
60	57, 59	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → -((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) − ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))))
61	11, 60	negcon1ad 8596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → -((ℜ‘𝐴) − ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴)↑2))
62	5, 7, 61	3eqtr2rd 2274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐴) − 1)))
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐴) − 1)))
64	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
65		peano2rem 8557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℜ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((ℜ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
67		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 1 ∈ ℂ)
68	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 2 ∈ ℝ)
69	68, 64	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
70	69	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
71	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (ℑ‘𝐴) # 0)
73	10	mullidd 8308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
74	54	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (ℑ‘𝐴) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
75	73, 74	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
76	31, 4, 10	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((2 · (ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
77	75, 76	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = ((2 · (ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)))
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = ((2 · (ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)))
79	67, 70, 71, 72, 78	mulcanap2ad 8956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 1 = (2 · (ℜ‘𝐴)))
80	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
81		2cnd 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 2 ∈ ℂ)
82		2ap0 9350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 # 0
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 2 # 0)
84	67, 80, 81, 83	divmulap2d 9118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((1 / 2) = (ℜ‘𝐴) ↔ 1 = (2 · (ℜ‘𝐴))))
85	79, 84	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (1 / 2) = (ℜ‘𝐴))
86	85	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((1 / 2) − 1) = ((ℜ‘𝐴) − 1))
87		halflt1 9475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
88		halfre 9471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
90		1red 8305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
91	89, 90	sublt0d 8862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (((1 / 2) − 1) < 0 ↔ (1 / 2) < 1))
92	87, 91	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((1 / 2) − 1) < 0)
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((1 / 2) − 1) < 0)
94	86, 93	eqbrtrrd 4138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((ℜ‘𝐴) − 1) < 0)
95		halfgt0 9473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / 2)
96	95, 85	breqtrid 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 0 < (ℜ‘𝐴))
97	66, 64, 94, 96	mul2lt0pn 10118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐴) − 1)) < 0)
98	63, 97	eqbrtrd 4136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) < 0)
99		0red 8291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 0 ∈ ℝ)
100	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
101	100	resqcld 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
102	100	sqge0d 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
103	99, 101, 102	lensymd 8412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) # 0) → ¬ ((ℑ‘𝐴)↑2) < 0)
104	98, 103	pm2.65da 667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ¬ (ℑ‘𝐴) # 0)
105		0cnd 8283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
106		apti 8914	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ ¬ (ℑ‘𝐴) # 0))
107	10, 105, 106	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ ¬ (ℑ‘𝐴) # 0))
108	104, 107	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (ℑ‘𝐴) = 0)
109		reim0b 11575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
110	109	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
111	108, 110	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
112		resq01 11047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
113	111, 112	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
114	1, 113	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
115	114	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
116		sq0 11019	. . . 4 ⊢ (0↑2) = 0
117		oveq1 6065	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
118		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
119	116, 117, 118	3eqtr4a 2293	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
120		sq1 11022	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
121		oveq1 6065	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
122		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
123	120, 121, 122	3eqtr4a 2293	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
124	119, 123	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
125	115, 124	impbid1 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144  ici 8145   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   − cmin 8461  -cneg 8462   # cap 8873   / cdiv 8966  2c2 9308  ↑cexp 10927  ℜcre 11553  ℑcim 11554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-rp 10008  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557

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