Theorem negcl 8533

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8507	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8324	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8532	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185   − cmin 8504   -cneg 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  negicn  8534  negcon1  8585  negdi  8590  negdi2  8591  negsubdi2  8592  neg2sub  8593  negcli  8601  negcld  8631  mulneg2  8730  mul2neg  8732  mulsub  8735  apsub1  8978  subap0  8979  divnegap  9044  divsubdirap  9046  divsubdivap  9066  eqneg  9070  div2negap  9073  divneg2ap  9074  zeo  9762  sqneg  11056  binom2sub  11111  shftval4  11615  shftcan1  11621  shftcan2  11622  crim  11645  resub  11657  imsub  11665  cjneg  11677  cjsub  11679  absneg  11838  abs2dif2  11896  subcn2  12102  efcan  12468  efap0  12469  efne0  12470  efneg  12471  efsub  12473  sinneg  12518  cosneg  12519  tannegap  12520  efmival  12525  sinsub  12532  cossub  12533  sincossq  12540  cncrng  15015  cnfldneg  15019  sin2pim  16040  cos2pim  16041  rpcxpsub  16141