Theorem negcl 8369

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8343	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8161	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8368	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2316	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  0cc0 8022   − cmin 8340  -cneg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-neg 8343

This theorem is referenced by:  negicn  8370  negcon1  8421  negdi  8426  negdi2  8427  negsubdi2  8428  neg2sub  8429  negcli  8437  negcld  8467  mulneg2  8565  mul2neg  8567  mulsub  8570  apsub1  8812  subap0  8813  divnegap  8876  divsubdirap  8878  divsubdivap  8898  eqneg  8902  div2negap  8905  divneg2ap  8906  zeo  9575  sqneg  10850  binom2sub  10905  shftval4  11379  shftcan1  11385  shftcan2  11386  crim  11409  resub  11421  imsub  11429  cjneg  11441  cjsub  11443  absneg  11601  abs2dif2  11658  subcn2  11862  efcan  12227  efap0  12228  efne0  12229  efneg  12230  efsub  12232  sinneg  12277  cosneg  12278  tannegap  12279  efmival  12284  sinsub  12291  cossub  12292  sincossq  12299  cncrng  14573  cnfldneg  14577  sin2pim  15527  cos2pim  15528  rpcxpsub  15622