Theorem negcl 8159

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8133	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 7951	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8158	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2264	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  0cc0 7813   − cmin 8130  -cneg 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by:  negicn  8160  negcon1  8211  negdi  8216  negdi2  8217  negsubdi2  8218  neg2sub  8219  negcli  8227  negcld  8257  mulneg2  8355  mul2neg  8357  mulsub  8360  apsub1  8601  subap0  8602  divnegap  8665  divsubdirap  8667  divsubdivap  8687  eqneg  8691  div2negap  8694  divneg2ap  8695  zeo  9360  sqneg  10581  binom2sub  10636  shftval4  10839  shftcan1  10845  shftcan2  10846  crim  10869  resub  10881  imsub  10889  cjneg  10901  cjsub  10903  absneg  11061  abs2dif2  11118  subcn2  11321  efcan  11686  efap0  11687  efne0  11688  efneg  11689  efsub  11691  sinneg  11736  cosneg  11737  tannegap  11738  efmival  11743  sinsub  11750  cossub  11751  sincossq  11758  cncrng  13548  cnfldneg  13552  sin2pim  14319  cos2pim  14320  rpcxpsub  14414