Theorem negcl 8221

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8195	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8013	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8220	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2280	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874   − cmin 8192  -cneg 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-neg 8195

This theorem is referenced by:  negicn  8222  negcon1  8273  negdi  8278  negdi2  8279  negsubdi2  8280  neg2sub  8281  negcli  8289  negcld  8319  mulneg2  8417  mul2neg  8419  mulsub  8422  apsub1  8663  subap0  8664  divnegap  8727  divsubdirap  8729  divsubdivap  8749  eqneg  8753  div2negap  8756  divneg2ap  8757  zeo  9425  sqneg  10672  binom2sub  10727  shftval4  10975  shftcan1  10981  shftcan2  10982  crim  11005  resub  11017  imsub  11025  cjneg  11037  cjsub  11039  absneg  11197  abs2dif2  11254  subcn2  11457  efcan  11822  efap0  11823  efne0  11824  efneg  11825  efsub  11827  sinneg  11872  cosneg  11873  tannegap  11874  efmival  11879  sinsub  11886  cossub  11887  sincossq  11894  cncrng  14068  cnfldneg  14072  sin2pim  14989  cos2pim  14990  rpcxpsub  15084