Theorem negcl 8357

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8331	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8149	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8356	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2316	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010   − cmin 8328  -cneg 8329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331

This theorem is referenced by:  negicn  8358  negcon1  8409  negdi  8414  negdi2  8415  negsubdi2  8416  neg2sub  8417  negcli  8425  negcld  8455  mulneg2  8553  mul2neg  8555  mulsub  8558  apsub1  8800  subap0  8801  divnegap  8864  divsubdirap  8866  divsubdivap  8886  eqneg  8890  div2negap  8893  divneg2ap  8894  zeo  9563  sqneg  10832  binom2sub  10887  shftval4  11354  shftcan1  11360  shftcan2  11361  crim  11384  resub  11396  imsub  11404  cjneg  11416  cjsub  11418  absneg  11576  abs2dif2  11633  subcn2  11837  efcan  12202  efap0  12203  efne0  12204  efneg  12205  efsub  12207  sinneg  12252  cosneg  12253  tannegap  12254  efmival  12259  sinsub  12266  cossub  12267  sincossq  12274  cncrng  14548  cnfldneg  14552  sin2pim  15502  cos2pim  15503  rpcxpsub  15597