Theorem negcl 8106

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8080	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 7899	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8105	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  0cc0 7761   − cmin 8077  -cneg 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-sub 8079  df-neg 8080

This theorem is referenced by:  negicn  8107  negcon1  8158  negdi  8163  negdi2  8164  negsubdi2  8165  neg2sub  8166  negcli  8174  negcld  8204  mulneg2  8302  mul2neg  8304  mulsub  8307  apsub1  8548  subap0  8549  divnegap  8610  divsubdirap  8612  divsubdivap  8632  eqneg  8636  div2negap  8639  divneg2ap  8640  zeo  9304  sqneg  10522  binom2sub  10576  shftval4  10779  shftcan1  10785  shftcan2  10786  crim  10809  resub  10821  imsub  10829  cjneg  10841  cjsub  10843  absneg  11001  abs2dif2  11058  subcn2  11261  efcan  11626  efap0  11627  efne0  11628  efneg  11629  efsub  11631  sinneg  11676  cosneg  11677  tannegap  11678  efmival  11683  sinsub  11690  cossub  11691  sincossq  11698  sin2pim  13449  cos2pim  13450  rpcxpsub  13544