Theorem negcl 7986

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7960	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 7782	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 7985	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2227	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644   − cmin 7957  -cneg 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-neg 7960

This theorem is referenced by:  negicn  7987  negcon1  8038  negdi  8043  negdi2  8044  negsubdi2  8045  neg2sub  8046  negcli  8054  negcld  8084  mulneg2  8182  mul2neg  8184  mulsub  8187  apsub1  8428  subap0  8429  divnegap  8490  divsubdirap  8492  divsubdivap  8512  eqneg  8516  div2negap  8519  divneg2ap  8520  zeo  9180  sqneg  10383  binom2sub  10436  shftval4  10632  shftcan1  10638  shftcan2  10639  crim  10662  resub  10674  imsub  10682  cjneg  10694  cjsub  10696  absneg  10854  abs2dif2  10911  subcn2  11112  efcan  11419  efap0  11420  efne0  11421  efneg  11422  efsub  11424  sinneg  11469  cosneg  11470  tannegap  11471  efmival  11476  sinsub  11483  cossub  11484  sincossq  11491  sin2pim  12942  cos2pim  12943  rpcxpsub  13037