Theorem negcl 8490

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8464	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8282	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8489	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2321	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143   − cmin 8461  -cneg 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8463  df-neg 8464

This theorem is referenced by:  negicn  8491  negcon1  8542  negdi  8547  negdi2  8548  negsubdi2  8549  neg2sub  8550  negcli  8558  negcld  8588  mulneg2  8687  mul2neg  8689  mulsub  8692  apsub1  8934  subap0  8935  divnegap  9000  divsubdirap  9002  divsubdivap  9022  eqneg  9026  div2negap  9029  divneg2ap  9030  zeo  9704  sqneg  10987  binom2sub  11042  shftval4  11541  shftcan1  11547  shftcan2  11548  crim  11571  resub  11583  imsub  11591  cjneg  11603  cjsub  11605  absneg  11763  abs2dif2  11820  subcn2  12024  efcan  12390  efap0  12391  efne0  12392  efneg  12393  efsub  12395  sinneg  12440  cosneg  12441  tannegap  12442  efmival  12447  sinsub  12454  cossub  12455  sincossq  12462  cncrng  14846  cnfldneg  14850  sin2pim  15807  cos2pim  15808  rpcxpsub  15902