Theorem negcl 8271

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8245	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8063	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8270	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2291	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  0cc0 7924   − cmin 8242  -cneg 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244  df-neg 8245

This theorem is referenced by:  negicn  8272  negcon1  8323  negdi  8328  negdi2  8329  negsubdi2  8330  neg2sub  8331  negcli  8339  negcld  8369  mulneg2  8467  mul2neg  8469  mulsub  8472  apsub1  8714  subap0  8715  divnegap  8778  divsubdirap  8780  divsubdivap  8800  eqneg  8804  div2negap  8807  divneg2ap  8808  zeo  9477  sqneg  10741  binom2sub  10796  shftval4  11081  shftcan1  11087  shftcan2  11088  crim  11111  resub  11123  imsub  11131  cjneg  11143  cjsub  11145  absneg  11303  abs2dif2  11360  subcn2  11564  efcan  11929  efap0  11930  efne0  11931  efneg  11932  efsub  11934  sinneg  11979  cosneg  11980  tannegap  11981  efmival  11986  sinsub  11993  cossub  11994  sincossq  12001  cncrng  14273  cnfldneg  14277  sin2pim  15227  cos2pim  15228  rpcxpsub  15322