Theorem negcl 8421

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8395	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8214	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8420	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2318	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075   − cmin 8392  -cneg 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-neg 8395

This theorem is referenced by:  negicn  8422  negcon1  8473  negdi  8478  negdi2  8479  negsubdi2  8480  neg2sub  8481  negcli  8489  negcld  8519  mulneg2  8617  mul2neg  8619  mulsub  8622  apsub1  8864  subap0  8865  divnegap  8928  divsubdirap  8930  divsubdivap  8950  eqneg  8954  div2negap  8957  divneg2ap  8958  zeo  9629  sqneg  10906  binom2sub  10961  shftval4  11451  shftcan1  11457  shftcan2  11458  crim  11481  resub  11493  imsub  11501  cjneg  11513  cjsub  11515  absneg  11673  abs2dif2  11730  subcn2  11934  efcan  12300  efap0  12301  efne0  12302  efneg  12303  efsub  12305  sinneg  12350  cosneg  12351  tannegap  12352  efmival  12357  sinsub  12364  cossub  12365  sincossq  12372  cncrng  14648  cnfldneg  14652  sin2pim  15607  cos2pim  15608  rpcxpsub  15702