Theorem negcl 8171

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8145	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 7963	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8170	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2274	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2158  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  0cc0 7825   − cmin 8142  -cneg 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-neg 8145

This theorem is referenced by:  negicn  8172  negcon1  8223  negdi  8228  negdi2  8229  negsubdi2  8230  neg2sub  8231  negcli  8239  negcld  8269  mulneg2  8367  mul2neg  8369  mulsub  8372  apsub1  8613  subap0  8614  divnegap  8677  divsubdirap  8679  divsubdivap  8699  eqneg  8703  div2negap  8706  divneg2ap  8707  zeo  9372  sqneg  10593  binom2sub  10648  shftval4  10851  shftcan1  10857  shftcan2  10858  crim  10881  resub  10893  imsub  10901  cjneg  10913  cjsub  10915  absneg  11073  abs2dif2  11130  subcn2  11333  efcan  11698  efap0  11699  efne0  11700  efneg  11701  efsub  11703  sinneg  11748  cosneg  11749  tannegap  11750  efmival  11755  sinsub  11762  cossub  11763  sincossq  11770  cncrng  13745  cnfldneg  13749  sin2pim  14530  cos2pim  14531  rpcxpsub  14625