Theorem negcl 8245

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8219	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8037	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8244	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2283	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898   − cmin 8216  -cneg 8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219

This theorem is referenced by:  negicn  8246  negcon1  8297  negdi  8302  negdi2  8303  negsubdi2  8304  neg2sub  8305  negcli  8313  negcld  8343  mulneg2  8441  mul2neg  8443  mulsub  8446  apsub1  8688  subap0  8689  divnegap  8752  divsubdirap  8754  divsubdivap  8774  eqneg  8778  div2negap  8781  divneg2ap  8782  zeo  9450  sqneg  10709  binom2sub  10764  shftval4  11012  shftcan1  11018  shftcan2  11019  crim  11042  resub  11054  imsub  11062  cjneg  11074  cjsub  11076  absneg  11234  abs2dif2  11291  subcn2  11495  efcan  11860  efap0  11861  efne0  11862  efneg  11863  efsub  11865  sinneg  11910  cosneg  11911  tannegap  11912  efmival  11917  sinsub  11924  cossub  11925  sincossq  11932  cncrng  14203  cnfldneg  14207  sin2pim  15157  cos2pim  15158  rpcxpsub  15252