Theorem negcl 8526

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8500	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8318	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8525	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179   − cmin 8497  -cneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  negicn  8527  negcon1  8578  negdi  8583  negdi2  8584  negsubdi2  8585  neg2sub  8586  negcli  8594  negcld  8624  mulneg2  8723  mul2neg  8725  mulsub  8728  apsub1  8970  subap0  8971  divnegap  9036  divsubdirap  9038  divsubdivap  9058  eqneg  9062  div2negap  9065  divneg2ap  9066  zeo  9751  sqneg  11035  binom2sub  11090  shftval4  11593  shftcan1  11599  shftcan2  11600  crim  11623  resub  11635  imsub  11643  cjneg  11655  cjsub  11657  absneg  11816  abs2dif2  11873  subcn2  12077  efcan  12443  efap0  12444  efne0  12445  efneg  12446  efsub  12448  sinneg  12493  cosneg  12494  tannegap  12495  efmival  12500  sinsub  12507  cossub  12508  sincossq  12515  cncrng  14906  cnfldneg  14910  sin2pim  15914  cos2pim  15915  rpcxpsub  16010