Theorem negcl 7779

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7753	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 7577	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 7778	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	syl5eqel 2181	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1445  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  0cc0 7447   − cmin 7750  -cneg 7751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-setind 4381  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-neg 7753

This theorem is referenced by:  negicn  7780  negcon1  7831  negdi  7836  negdi2  7837  negsubdi2  7838  neg2sub  7839  negcli  7847  negcld  7877  mulneg2  7971  mul2neg  7973  mulsub  7976  apsub1  8214  subap0  8215  divnegap  8270  divsubdirap  8272  divsubdivap  8292  eqneg  8296  div2negap  8299  divneg2ap  8300  zeo  8950  sqneg  10129  binom2sub  10182  shftval4  10377  shftcan1  10383  shftcan2  10384  crim  10407  resub  10419  imsub  10427  cjneg  10439  cjsub  10441  absneg  10598  abs2dif2  10655  subcn2  10854  efcan  11115  efap0  11116  efne0  11117  efneg  11118  efsub  11120  sinneg  11166  cosneg  11167  tannegap  11168  efmival  11173  sinsub  11180  cossub  11181  sincossq  11188