Theorem negcl 8473

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8447	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8472	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2319	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   − cmin 8444  -cneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  negicn  8474  negcon1  8525  negdi  8530  negdi2  8531  negsubdi2  8532  neg2sub  8533  negcli  8541  negcld  8571  mulneg2  8669  mul2neg  8671  mulsub  8674  apsub1  8916  subap0  8917  divnegap  8980  divsubdirap  8982  divsubdivap  9002  eqneg  9006  div2negap  9009  divneg2ap  9010  zeo  9683  sqneg  10960  binom2sub  11015  shftval4  11513  shftcan1  11519  shftcan2  11520  crim  11543  resub  11555  imsub  11563  cjneg  11575  cjsub  11577  absneg  11735  abs2dif2  11792  subcn2  11996  efcan  12362  efap0  12363  efne0  12364  efneg  12365  efsub  12367  sinneg  12412  cosneg  12413  tannegap  12414  efmival  12419  sinsub  12426  cossub  12427  sincossq  12434  cncrng  14717  cnfldneg  14721  sin2pim  15678  cos2pim  15679  rpcxpsub  15773