Theorem negcl 8516

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8490	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8308	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8515	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169   − cmin 8487  -cneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by:  negicn  8517  negcon1  8568  negdi  8573  negdi2  8574  negsubdi2  8575  neg2sub  8576  negcli  8584  negcld  8614  mulneg2  8713  mul2neg  8715  mulsub  8718  apsub1  8960  subap0  8961  divnegap  9026  divsubdirap  9028  divsubdivap  9048  eqneg  9052  div2negap  9055  divneg2ap  9056  zeo  9730  sqneg  11013  binom2sub  11068  shftval4  11571  shftcan1  11577  shftcan2  11578  crim  11601  resub  11613  imsub  11621  cjneg  11633  cjsub  11635  absneg  11794  abs2dif2  11851  subcn2  12055  efcan  12421  efap0  12422  efne0  12423  efneg  12424  efsub  12426  sinneg  12471  cosneg  12472  tannegap  12473  efmival  12478  sinsub  12485  cossub  12486  sincossq  12493  cncrng  14878  cnfldneg  14882  sin2pim  15837  cos2pim  15838  rpcxpsub  15933