Theorem negcl 8098

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8072	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 7891	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8097	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2253	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753   − cmin 8069  -cneg 8070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-neg 8072

This theorem is referenced by:  negicn  8099  negcon1  8150  negdi  8155  negdi2  8156  negsubdi2  8157  neg2sub  8158  negcli  8166  negcld  8196  mulneg2  8294  mul2neg  8296  mulsub  8299  apsub1  8540  subap0  8541  divnegap  8602  divsubdirap  8604  divsubdivap  8624  eqneg  8628  div2negap  8631  divneg2ap  8632  zeo  9296  sqneg  10514  binom2sub  10568  shftval4  10770  shftcan1  10776  shftcan2  10777  crim  10800  resub  10812  imsub  10820  cjneg  10832  cjsub  10834  absneg  10992  abs2dif2  11049  subcn2  11252  efcan  11617  efap0  11618  efne0  11619  efneg  11620  efsub  11622  sinneg  11667  cosneg  11668  tannegap  11669  efmival  11674  sinsub  11681  cossub  11682  sincossq  11689  sin2pim  13374  cos2pim  13375  rpcxpsub  13469