Theorem negcl 8379

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8353	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8171	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8378	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2318	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032   − cmin 8350  -cneg 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-neg 8353

This theorem is referenced by:  negicn  8380  negcon1  8431  negdi  8436  negdi2  8437  negsubdi2  8438  neg2sub  8439  negcli  8447  negcld  8477  mulneg2  8575  mul2neg  8577  mulsub  8580  apsub1  8822  subap0  8823  divnegap  8886  divsubdirap  8888  divsubdivap  8908  eqneg  8912  div2negap  8915  divneg2ap  8916  zeo  9585  sqneg  10861  binom2sub  10916  shftval4  11393  shftcan1  11399  shftcan2  11400  crim  11423  resub  11435  imsub  11443  cjneg  11455  cjsub  11457  absneg  11615  abs2dif2  11672  subcn2  11876  efcan  12242  efap0  12243  efne0  12244  efneg  12245  efsub  12247  sinneg  12292  cosneg  12293  tannegap  12294  efmival  12299  sinsub  12306  cossub  12307  sincossq  12314  cncrng  14589  cnfldneg  14593  sin2pim  15543  cos2pim  15544  rpcxpsub  15638