Theorem negcl 8292

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8266	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8084	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8291	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2293	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  0cc0 7945   − cmin 8263  -cneg 8264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-setind 4593  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-sub 8265  df-neg 8266

This theorem is referenced by:  negicn  8293  negcon1  8344  negdi  8349  negdi2  8350  negsubdi2  8351  neg2sub  8352  negcli  8360  negcld  8390  mulneg2  8488  mul2neg  8490  mulsub  8493  apsub1  8735  subap0  8736  divnegap  8799  divsubdirap  8801  divsubdivap  8821  eqneg  8825  div2negap  8828  divneg2ap  8829  zeo  9498  sqneg  10765  binom2sub  10820  shftval4  11214  shftcan1  11220  shftcan2  11221  crim  11244  resub  11256  imsub  11264  cjneg  11276  cjsub  11278  absneg  11436  abs2dif2  11493  subcn2  11697  efcan  12062  efap0  12063  efne0  12064  efneg  12065  efsub  12067  sinneg  12112  cosneg  12113  tannegap  12114  efmival  12119  sinsub  12126  cossub  12127  sincossq  12134  cncrng  14406  cnfldneg  14410  sin2pim  15360  cos2pim  15361  rpcxpsub  15455