Theorem negcl 8378

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8352	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 8170	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8377	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2318	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031   − cmin 8349  -cneg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  negicn  8379  negcon1  8430  negdi  8435  negdi2  8436  negsubdi2  8437  neg2sub  8438  negcli  8446  negcld  8476  mulneg2  8574  mul2neg  8576  mulsub  8579  apsub1  8821  subap0  8822  divnegap  8885  divsubdirap  8887  divsubdivap  8907  eqneg  8911  div2negap  8914  divneg2ap  8915  zeo  9584  sqneg  10859  binom2sub  10914  shftval4  11388  shftcan1  11394  shftcan2  11395  crim  11418  resub  11430  imsub  11438  cjneg  11450  cjsub  11452  absneg  11610  abs2dif2  11667  subcn2  11871  efcan  12236  efap0  12237  efne0  12238  efneg  12239  efsub  12241  sinneg  12286  cosneg  12287  tannegap  12288  efmival  12293  sinsub  12300  cossub  12301  sincossq  12308  cncrng  14582  cnfldneg  14586  sin2pim  15536  cos2pim  15537  rpcxpsub  15631