Theorem negcl 8119

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8093	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 7912	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 8118	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrid 2257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774   − cmin 8090  -cneg 8091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093

This theorem is referenced by:  negicn  8120  negcon1  8171  negdi  8176  negdi2  8177  negsubdi2  8178  neg2sub  8179  negcli  8187  negcld  8217  mulneg2  8315  mul2neg  8317  mulsub  8320  apsub1  8561  subap0  8562  divnegap  8623  divsubdirap  8625  divsubdivap  8645  eqneg  8649  div2negap  8652  divneg2ap  8653  zeo  9317  sqneg  10535  binom2sub  10589  shftval4  10792  shftcan1  10798  shftcan2  10799  crim  10822  resub  10834  imsub  10842  cjneg  10854  cjsub  10856  absneg  11014  abs2dif2  11071  subcn2  11274  efcan  11639  efap0  11640  efne0  11641  efneg  11642  efsub  11644  sinneg  11689  cosneg  11690  tannegap  11691  efmival  11696  sinsub  11703  cossub  11704  sincossq  11711  sin2pim  13528  cos2pim  13529  rpcxpsub  13623