Theorem nninfninc 7414

Description: All values beyond a zero in an ℕ_∞ sequence are zero. This is another way of stating that elements of ℕ_∞ are nonincreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfninc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ∞)
nninfninc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ω)
nninfninc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ω)
nninfninc.le	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑌)
nninfninc.z	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nninfninc	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) = ∅)

Proof of Theorem nninfninc

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfninc.le	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑌)
2		sseq2 3262	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑌 → (𝑋 ⊆ 𝑛 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
3		fveqeq2 5679	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑌 → ((𝐴‘𝑛) = ∅ ↔ (𝐴‘𝑌) = ∅))
4	2, 3	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑌 → ((𝑋 ⊆ 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = ∅) ↔ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝐴‘𝑌) = ∅)))
5		sseq2 3262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑋 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑋 ⊆ ∅))
6	5	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ ∅)))
7		fveqeq2 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴‘𝑤) = ∅ ↔ (𝐴‘∅) = ∅))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) → (𝐴‘𝑤) = ∅) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ ∅) → (𝐴‘∅) = ∅)))
9		sseq2 3262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑋 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑘))
10	9	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘)))
11		fveqeq2 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑤) = ∅ ↔ (𝐴‘𝑘) = ∅))
12	10, 11	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) → (𝐴‘𝑤) = ∅) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)))
13		sseq2 3262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑋 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑋 ⊆ suc 𝑘))
14	13	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)))
15		fveqeq2 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝐴‘𝑤) = ∅ ↔ (𝐴‘suc 𝑘) = ∅))
16	14, 15	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) → (𝐴‘𝑤) = ∅) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘) → (𝐴‘suc 𝑘) = ∅)))
17		sseq2 3262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑛 → (𝑋 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑛))
18	17	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑛)))
19		fveqeq2 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑤) = ∅ ↔ (𝐴‘𝑛) = ∅))
20	18, 19	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑤) → (𝐴‘𝑤) = ∅) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑛) → (𝐴‘𝑛) = ∅)))
21		ss0 3549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ⊆ ∅ → 𝑋 = ∅)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ ∅) → 𝑋 = ∅)
23	22	fveq2d 5674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ ∅) → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘∅))
24		nninfninc.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = ∅)
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ ∅) → (𝐴‘𝑋) = ∅)
26	23, 25	eqtr3d 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ ∅) → (𝐴‘∅) = ∅)
27		suceq 4523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → suc 𝑖 = suc 𝑘)
28	27	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑘))
29		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑘))
30	28, 29	sseq12d 3269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑘) ⊆ (𝐴‘𝑘)))
31		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → 𝜑)
32		nninfninc.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ∞)
33		fveq1 5669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘suc 𝑖) = (𝐴‘suc 𝑖))
34		fveq1 5669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
35	33, 34	sseq12d 3269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
36	35	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
37		df-nninf 7411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑖 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑖) ⊆ (𝑓‘𝑖)}
38	36, 37	elrab2 2976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
39	32, 38	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖)))
40	39	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖))
41	31, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → ∀𝑖 ∈ ω (𝐴‘suc 𝑖) ⊆ (𝐴‘𝑖))
42		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → 𝑘 ∈ ω)
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → 𝑘 ∈ ω)
44	30, 41, 43	rspcdva 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → (𝐴‘suc 𝑘) ⊆ (𝐴‘𝑘))
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → 𝑋 ∈ suc 𝑘)
46		nninfninc.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ω)
47	46	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → 𝑋 ∈ ω)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → 𝑋 ∈ ω)
49		nnsssuc 6735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑋 ⊆ 𝑘 ↔ 𝑋 ∈ suc 𝑘))
50	48, 43, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → (𝑋 ⊆ 𝑘 ↔ 𝑋 ∈ suc 𝑘))
51	45, 50	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → 𝑋 ⊆ 𝑘)
52		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅))
53	31, 51, 52	mp2and 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)
54	44, 53	sseqtrd 3276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → (𝐴‘suc 𝑘) ⊆ ∅)
55		ss0 3549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘suc 𝑘) ⊆ ∅ → (𝐴‘suc 𝑘) = ∅)
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 ∈ suc 𝑘) → (𝐴‘suc 𝑘) = ∅)
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 = suc 𝑘) → 𝑋 = suc 𝑘)
58	57	fveq2d 5674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 = suc 𝑘) → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘suc 𝑘))
59		simplrl 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 = suc 𝑘) → 𝜑)
60	59, 24	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 = suc 𝑘) → (𝐴‘𝑋) = ∅)
61	58, 60	eqtr3d 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) ∧ 𝑋 = suc 𝑘) → (𝐴‘suc 𝑘) = ∅)
62		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → 𝑋 ⊆ suc 𝑘)
63		peano2 4717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
64	42, 63	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → suc 𝑘 ∈ ω)
65		nnsssuc 6735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → (𝑋 ⊆ suc 𝑘 ↔ 𝑋 ∈ suc suc 𝑘))
66	47, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → (𝑋 ⊆ suc 𝑘 ↔ 𝑋 ∈ suc suc 𝑘))
67	62, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → 𝑋 ∈ suc suc 𝑘)
68		elsuci 4524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ suc suc 𝑘 → (𝑋 ∈ suc 𝑘 ∨ 𝑋 = suc 𝑘))
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → (𝑋 ∈ suc 𝑘 ∨ 𝑋 = suc 𝑘))
70	56, 61, 69	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘)) → (𝐴‘suc 𝑘) = ∅)
71	70	exp31 364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = ∅) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ suc 𝑘) → (𝐴‘suc 𝑘) = ∅)))
72	8, 12, 16, 20, 26, 71	finds 4722	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑛) → (𝐴‘𝑛) = ∅))
73	72	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∈ ω → (𝐴‘𝑛) = ∅))
74	73	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑋 ⊆ 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = ∅))
75	74	ralrimiva 2615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝑋 ⊆ 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = ∅))
76		nninfninc.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ω)
77	4, 75, 76	rspcdva 2926	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝐴‘𝑌) = ∅))
78	1, 77	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508  suc csuc 4486  ωcom 4712  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  2_oc2o 6641   ↑_𝑚 cmap 6882  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-iota 5312  df-fv 5360  df-nninf 7411

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12736  nnnninfex  16800