Theorem znbaslemnn 14787

Description: Lemma for znbas 14792. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
znbaslemnn.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
znbaslem.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
znbaslemnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
2		zringring 14741	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		znval2.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
4		rspex 14622	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2305	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
7		snexg 4297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
8		fvexg 5689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
10		eqgex 13938	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
11	2, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
12		qusex 13538	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V) → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
14	1, 13	eqeltrid 2319	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑈 ∈ V)
15		znval2.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
16		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
17		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))
19	3, 1, 15, 16, 17, 18	znval 14784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
20		plendxnn 13416	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘ndx) ∈ ℕ)
22		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) = (ℤRHom‘𝑈)
23	22	zrhex 14769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
24	14, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
25		resexg 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ∈ V → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
27		xrex 10189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* ∈ V
28	27, 27	xpex 4866	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
29		lerelxr 8336	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
30	28, 29	ssexi 4248	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
31		coexg 5307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V ∧ ≤ ∈ V) → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
32	26, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
33		cnvexg 5300	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
34	26, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
35		coexg 5307	. . . . . . 7 ⊢ (((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V ∧ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V) → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
37		setsex 13244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ ∧ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V) → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
38	14, 21, 36, 37	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
39	19, 38	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
40		pleslid 13415	. . . . 5 ⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)
41	40	slotex 13239	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → (le‘𝑌) ∈ V)
42	39, 41	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) ∈ V)
43		znbaslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
44		znbaslemnn.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
45	43, 44	ndxslid 13237	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
46		znbaslem.n	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
47	45, 46, 20	setsslnid 13264	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘𝑌) ∈ V) → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
48	14, 42, 47	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
49		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
50	3, 1, 15, 49	znval2 14786	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
51	50	fveq2d 5674	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
52	48, 51	eqtr4d 2268	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2813  ifcif 3620  {csn 3689  ⟨cop 3692   × cxp 4747  ^◡ccnv 4748   ↾ cres 4751   ∘ ccom 4753  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  ℝ^*cxr 8307   ≤ cle 8309  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ..^cfzo 10476  ndxcnx 13209   sSet csts 13210  Slot cslot 13211  lecple 13297   /_s cqus 13513   ~_QG cqg 13886  Ringcrg 14140  RSpancrsp 14616  ℤ_ringczring 14738  ℤRHomczrh 14759  ℤ/nℤczn 14761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-ec 6769  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-rp 9987  df-fz 10343  df-cj 11527  df-abs 11684  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-starv 13305  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-ip 13308  df-tset 13309  df-ple 13310  df-ds 13312  df-unif 13313  df-0g 13471  df-topgen 13473  df-iimas 13515  df-qus 13516  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-subg 13887  df-eqg 13889  df-cmn 14003  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-cring 14143  df-rhm 14297  df-subrg 14364  df-lsp 14535  df-sra 14583  df-rgmod 14584  df-rsp 14618  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-fg 14697  df-metu 14698  df-cnfld 14705  df-zring 14739  df-zrh 14762  df-zn 14764

This theorem is referenced by:  znbas2  14788  znadd  14789  znmul  14790