Theorem znbaslemnn 13952

Description: Lemma for znbas 13956. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
znbaslemnn.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
znbaslem.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
znbaslemnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
2		zringring 13909	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		znval2.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
4		rspex 13807	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2262	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
7		snexg 4202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
8		fvexg 5553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
10		eqgex 13177	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
11	2, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
12		qusex 12805	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V) → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
14	1, 13	eqeltrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑈 ∈ V)
15		znval2.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
16		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
17		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))
19	3, 1, 15, 16, 17, 18	znval 13949	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
20		plendxnn 12717	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘ndx) ∈ ℕ)
22		eqid 2189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) = (ℤRHom‘𝑈)
23	22	zrhex 13935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
24	14, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
25		resexg 4965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ∈ V → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
27		xrex 9888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* ∈ V
28	27, 27	xpex 4759	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
29		lerelxr 8051	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
30	28, 29	ssexi 4156	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
31		coexg 5191	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V ∧ ≤ ∈ V) → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
32	26, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
33		cnvexg 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
34	26, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
35		coexg 5191	. . . . . . 7 ⊢ (((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V ∧ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V) → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
37		setsex 12547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ ∧ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V) → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
38	14, 21, 36, 37	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
39	19, 38	eqeltrd 2266	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
40		pleslid 12716	. . . . 5 ⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)
41	40	slotex 12542	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → (le‘𝑌) ∈ V)
42	39, 41	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) ∈ V)
43		znbaslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
44		znbaslemnn.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
45	43, 44	ndxslid 12540	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
46		znbaslem.n	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
47	45, 46, 20	setsslnid 12567	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘𝑌) ∈ V) → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
48	14, 42, 47	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
49		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
50	3, 1, 15, 49	znval2 13951	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
51	50	fveq2d 5538	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
52	48, 51	eqtr4d 2225	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  Vcvv 2752  ifcif 3549  {csn 3607  ⟨cop 3610   × cxp 4642  ^◡ccnv 4643   ↾ cres 4646   ∘ ccom 4648  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  0cc0 7842  ℝ^*cxr 8022   ≤ cle 8024  ℕcn 8950  ℕ₀cn0 9207  ℤcz 9284  ..^cfzo 10174  ndxcnx 12512   sSet csts 12513  Slot cslot 12514  lecple 12599   /_s cqus 12780   ~_QG cqg 13125  Ringcrg 13367  RSpancrsp 13801  ℤ_ringczring 13906  ℤRHomczrh 13926  ℤ/nℤczn 13928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-ec 6562  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-fz 10041  df-cj 10886  df-struct 12517  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-starv 12607  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-ip 12610  df-ple 12612  df-0g 12766  df-iimas 12782  df-qus 12783  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-subg 13126  df-eqg 13128  df-cmn 13242  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-cring 13370  df-rhm 13519  df-subrg 13583  df-lsp 13720  df-sra 13768  df-rgmod 13769  df-rsp 13803  df-icnfld 13882  df-zring 13907  df-zrh 13929  df-zn 13931

This theorem is referenced by:  znbas2  13953  znadd  13954  znmul  13955