Theorem znbaslemnn 14127

Description: Lemma for znbas 14132. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
znbaslemnn.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
znbaslem.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
znbaslemnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
2		zringring 14081	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		znval2.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
4		rspex 13970	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2266	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
7		snexg 4213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
8		fvexg 5573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
10		eqgex 13291	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
11	2, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
12		qusex 12908	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V) → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
14	1, 13	eqeltrid 2280	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑈 ∈ V)
15		znval2.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
16		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
17		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))
19	3, 1, 15, 16, 17, 18	znval 14124	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
20		plendxnn 12820	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘ndx) ∈ ℕ)
22		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) = (ℤRHom‘𝑈)
23	22	zrhex 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
24	14, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
25		resexg 4982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ∈ V → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
27		xrex 9922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* ∈ V
28	27, 27	xpex 4774	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
29		lerelxr 8082	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
30	28, 29	ssexi 4167	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
31		coexg 5210	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V ∧ ≤ ∈ V) → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
32	26, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
33		cnvexg 5203	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
34	26, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
35		coexg 5210	. . . . . . 7 ⊢ (((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V ∧ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V) → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
37		setsex 12650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ ∧ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V) → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
38	14, 21, 36, 37	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
39	19, 38	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
40		pleslid 12819	. . . . 5 ⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)
41	40	slotex 12645	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → (le‘𝑌) ∈ V)
42	39, 41	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) ∈ V)
43		znbaslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
44		znbaslemnn.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
45	43, 44	ndxslid 12643	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
46		znbaslem.n	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
47	45, 46, 20	setsslnid 12670	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘𝑌) ∈ V) → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
48	14, 42, 47	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
49		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
50	3, 1, 15, 49	znval2 14126	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
51	50	fveq2d 5558	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
52	48, 51	eqtr4d 2229	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  Vcvv 2760  ifcif 3557  {csn 3618  ⟨cop 3621   × cxp 4657  ^◡ccnv 4658   ↾ cres 4661   ∘ ccom 4663  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  ℝ^*cxr 8053   ≤ cle 8055  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ..^cfzo 10208  ndxcnx 12615   sSet csts 12616  Slot cslot 12617  lecple 12702   /_s cqus 12883   ~_QG cqg 13239  Ringcrg 13492  RSpancrsp 13964  ℤ_ringczring 14078  ℤRHomczrh 14099  ℤ/nℤczn 14101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-ec 6589  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-fz 10075  df-cj 10986  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-ple 12715  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-subg 13240  df-eqg 13242  df-cmn 13356  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-cring 13495  df-rhm 13648  df-subrg 13715  df-lsp 13883  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-rsp 13966  df-icnfld 14048  df-zring 14079  df-zrh 14102  df-zn 14104

This theorem is referenced by:  znbas2  14128  znadd  14129  znmul  14130