Theorem znbaslemnn 14271

Description: Lemma for znbas 14276. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
znbaslemnn.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
znbaslem.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
znbaslemnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
2		zringring 14225	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		znval2.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
4		rspex 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2269	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
7		snexg 4218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
8		fvexg 5580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
10		eqgex 13427	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
11	2, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
12		qusex 13027	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V) → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
14	1, 13	eqeltrid 2283	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑈 ∈ V)
15		znval2.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
16		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
17		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))
19	3, 1, 15, 16, 17, 18	znval 14268	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
20		plendxnn 12905	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘ndx) ∈ ℕ)
22		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) = (ℤRHom‘𝑈)
23	22	zrhex 14253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ V → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
24	14, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
25		resexg 4987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ∈ V → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
27		xrex 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* ∈ V
28	27, 27	xpex 4779	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
29		lerelxr 8106	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
30	28, 29	ssexi 4172	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
31		coexg 5215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V ∧ ≤ ∈ V) → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
32	26, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V)
33		cnvexg 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
34	26, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V)
35		coexg 5215	. . . . . . 7 ⊢ (((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∈ V ∧ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∈ V) → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V)
37		setsex 12735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ ∧ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) ∈ V) → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
38	14, 21, 36, 37	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩) ∈ V)
39	19, 38	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
40		pleslid 12904	. . . . 5 ⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)
41	40	slotex 12730	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → (le‘𝑌) ∈ V)
42	39, 41	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) ∈ V)
43		znbaslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
44		znbaslemnn.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
45	43, 44	ndxslid 12728	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
46		znbaslem.n	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
47	45, 46, 20	setsslnid 12755	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ (le‘𝑌) ∈ V) → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
48	14, 42, 47	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
49		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
50	3, 1, 15, 49	znval2 14270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
51	50	fveq2d 5565	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
52	48, 51	eqtr4d 2232	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  Vcvv 2763  ifcif 3562  {csn 3623  ⟨cop 3626   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663   ↾ cres 4666   ∘ ccom 4668  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7896  ℝ^*cxr 8077   ≤ cle 8079  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ..^cfzo 10234  ndxcnx 12700   sSet csts 12701  Slot cslot 12702  lecple 12787   /_s cqus 13002   ~_QG cqg 13375  Ringcrg 13628  RSpancrsp 14100  ℤ_ringczring 14222  ℤRHomczrh 14243  ℤ/nℤczn 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-ec 6603  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-cj 11024  df-abs 11181  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-subg 13376  df-eqg 13378  df-cmn 13492  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-cring 13631  df-rhm 13784  df-subrg 13851  df-lsp 14019  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-rsp 14102  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223  df-zrh 14246  df-zn 14248

This theorem is referenced by:  znbas2  14272  znadd  14273  znmul  14274