Theorem znle 14193

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛ℤ, with an "artificial" ordering added. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znle	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		znval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5		znval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		eqid 2196	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 14192	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩))
8	7	fveq2d 5562	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
9		znle.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = (le‘𝑌))
11		zringring 14149	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		rspex 14030	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
14	1, 13	eqeltri 2269	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
15		snexg 4217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
16		fvexg 5577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
17	14, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
18		eqgex 13351	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
19	11, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
20		qusex 12968	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V) → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
21	11, 19, 20	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))) ∈ V)
22	2, 21	eqeltrid 2283	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑈 ∈ V)
23		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) = (ℤRHom‘𝑈)
24	23	zrhex 14177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ V → (ℤRHom‘𝑈) ∈ V)
25		resexg 4986	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ∈ V → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V)
26	22, 24, 25	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V)
27	4, 26	eqeltrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ V)
28		xrex 9931	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
29	28, 28	xpex 4778	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
30		lerelxr 8089	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
31	29, 30	ssexi 4171	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
32		coexg 5214	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ ≤ ∈ V) → (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V)
33	27, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V)
34		cnvexg 5207	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
35	27, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹 ∈ V)
36		coexg 5214	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V ∧ ◡𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
37	33, 35, 36	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
38		pleslid 12879	. . . 4 ⊢ (le = Slot (le‘ndx) ∧ (le‘ndx) ∈ ℕ)
39	38	setsslid 12729	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
40	22, 37, 39	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
41	8, 10, 40	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ifcif 3561  {csn 3622  ⟨cop 3625   × cxp 4661  ^◡ccnv 4662   ↾ cres 4665   ∘ ccom 4667  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  0cc0 7879  ℝ^*cxr 8060   ≤ cle 8062  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ..^cfzo 10217  ndxcnx 12675   sSet csts 12676  lecple 12762   /_s cqus 12943   ~_QG cqg 13299  Ringcrg 13552  RSpancrsp 14024  ℤ_ringczring 14146  ℤRHomczrh 14167  ℤ/nℤczn 14169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-ec 6594  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-rp 9729  df-fz 10084  df-cj 11007  df-abs 11164  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-topgen 12931  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-subg 13300  df-eqg 13302  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-cring 13555  df-rhm 13708  df-subrg 13775  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-rsp 14026  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-zring 14147  df-zrh 14170  df-zn 14172

This theorem is referenced by:  znval2  14194  znle2  14208