Theorem repos 10390

Description: Two ways of saying that a real number is positive. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
repos	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem repos

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		ioopos 10370	. 2 ⊢ (0(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 2985	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℝcr 8185  0cc0 8186  +∞cpnf 8364   < clt 8367  (,)cioo 10308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-ioo 10312

This theorem is used by: (None)