Theorem rngmgpf 13749

Description: Restricted functionality of the multiplicative group on non-unital rings (mgpf 13823 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rngmgpf	⊢ (mulGrp ↾ Rng):Rng⟶Smgrp

Proof of Theorem rngmgpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 13734	. . 3 ⊢ mulGrp Fn V
2		ssv 3217	. . 3 ⊢ Rng ⊆ V
3		fnssres 5395	. . 3 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ Rng ⊆ V) → (mulGrp ↾ Rng) Fn Rng)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ (mulGrp ↾ Rng) Fn Rng
5		fvres 5610	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ Rng → ((mulGrp ↾ Rng)‘𝑎) = (mulGrp‘𝑎))
6		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑎) = (mulGrp‘𝑎)
7	6	rngmgp 13748	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑎) ∈ Smgrp)
8	5, 7	eqeltrd 2283	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ Rng → ((mulGrp ↾ Rng)‘𝑎) ∈ Smgrp)
9	8	rgen 2560	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ Rng ((mulGrp ↾ Rng)‘𝑎) ∈ Smgrp
10		ffnfv 5748	. 2 ⊢ ((mulGrp ↾ Rng):Rng⟶Smgrp ↔ ((mulGrp ↾ Rng) Fn Rng ∧ ∀𝑎 ∈ Rng ((mulGrp ↾ Rng)‘𝑎) ∈ Smgrp))
11	4, 9, 10	mpbir2an 945	1 ⊢ (mulGrp ↾ Rng):Rng⟶Smgrp

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773   ⊆ wss 3168   ↾ cres 4682   Fn wfn 5272  ⟶wf 5273  ‘cfv 5277  Smgrpcsgrp 13283  mulGrpcmgp 13732  Rngcrng 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1re 8032  ax-addrcl 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-mgp 13733  df-rng 13745

This theorem is referenced by: (None)