Theorem subeq0bd 8706

Description: If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 8647. Converse of subeq0d 8645. Contrapositive of subne0ad 8648. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subeq0bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subeq0bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subeq0bd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)

Proof of Theorem subeq0bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subeq0bd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		subeq0bd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrrd 2316	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	subeq0ad 8647	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179   − cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  resq01  11095  cnplimclemle  15769  dichmul0orlem4  16756