Theorem resq01 11117

Description: If a real number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
resq01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem resq01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sqval 11056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = 𝐴)
6	4, 5	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = 𝐴)
7		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	gt0ap0d 8966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 # 0)
9	2, 2, 2, 8	divmulapd 9151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 𝐴))
10	6, 9	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 𝐴)
11	2, 8	dividapd 9125	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
12	10, 11	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
13	12	olcd 746	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
14	13	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
15		simpll 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 8361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16, 16	muls1d 8753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · (𝐴 − 1)) = ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴))
18	16, 16	mulcld 8353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
19	16, 3	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = 𝐴)
21	19, 20	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = 𝐴)
22	18, 21	subeq0bd 8714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = 0)
23	17, 22	eqtr2d 2272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 = (𝐴 · (𝐴 − 1)))
24		0cnd 8326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
25		1red 8348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
26	15, 25	resubcld 8716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
27	26	recnd 8361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
28		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 < 1)
29	15, 25	sublt0d 8907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 − 1) < 0 ↔ 𝐴 < 1))
30	28, 29	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) < 0)
31	26, 30	lt0ap0d 8986	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) # 0)
32	24, 16, 27, 31	divmulap3d 9164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((0 / (𝐴 − 1)) = 𝐴 ↔ 0 = (𝐴 · (𝐴 − 1))))
33	23, 32	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (0 / (𝐴 − 1)) = 𝐴)
34	27, 31	div0apd 9126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (0 / (𝐴 − 1)) = 0)
35	33, 34	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = 0)
36	35	orcd 745	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
37	36	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
38		0lt1 8461	. . . 4 ⊢ 0 < 1
39		0re 8333	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
40		1re 8332	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		axltwlin 8400	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1)))
42	39, 40, 41	mp3an12 1368	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 1 → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1)))
43	38, 42	mpi 15	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1))
44	14, 37, 43	mpjaodan 810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
45		sq0 11089	. . . 4 ⊢ (0↑2) = 0
46		oveq1 6095	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
47		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
48	45, 46, 47	3eqtr4a 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
49		sq1 11092	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
50		oveq1 6095	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
51		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
52	49, 50, 51	3eqtr4a 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
53	48, 52	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
54	44, 53	impbid1 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186  1c1 8187   · cmul 8191   < clt 8367   − cmin 8505   / cdiv 9011  2c2 9365  ↑cexp 10997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-seqfrec 10907  df-exp 10998

This theorem is used by:  sq01  11683