Theorem resq01 11027

Description: If a real number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
resq01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem resq01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sqval 10966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = 𝐴)
6	4, 5	eqtr3d 2269	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = 𝐴)
7		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	gt0ap0d 8908	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 # 0)
9	2, 2, 2, 8	divmulapd 9091	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 𝐴))
10	6, 9	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 𝐴)
11	2, 8	dividapd 9065	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
12	10, 11	eqtr3d 2269	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
13	12	olcd 742	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
14	13	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
15		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 8307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16, 16	muls1d 8696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · (𝐴 − 1)) = ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴))
18	16, 16	mulcld 8299	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
19	16, 3	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = 𝐴)
21	19, 20	eqtr3d 2269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = 𝐴)
22	18, 21	subeq0bd 8657	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = 0)
23	17, 22	eqtr2d 2268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 = (𝐴 · (𝐴 − 1)))
24		0cnd 8272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
25		1red 8294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
26	15, 25	resubcld 8659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
27	26	recnd 8307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
28		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 < 1)
29	15, 25	sublt0d 8849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 − 1) < 0 ↔ 𝐴 < 1))
30	28, 29	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) < 0)
31	26, 30	lt0ap0d 8928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) # 0)
32	24, 16, 27, 31	divmulap3d 9104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((0 / (𝐴 − 1)) = 𝐴 ↔ 0 = (𝐴 · (𝐴 − 1))))
33	23, 32	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (0 / (𝐴 − 1)) = 𝐴)
34	27, 31	div0apd 9066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (0 / (𝐴 − 1)) = 0)
35	33, 34	eqtr3d 2269	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = 0)
36	35	orcd 741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
37	36	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
38		0lt1 8405	. . . 4 ⊢ 0 < 1
39		0re 8279	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
40		1re 8278	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		axltwlin 8346	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1)))
42	39, 40, 41	mp3an12 1364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 1 → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1)))
43	38, 42	mpi 15	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1))
44	14, 37, 43	mpjaodan 806	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
45		sq0 10999	. . . 4 ⊢ (0↑2) = 0
46		oveq1 6059	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
47		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
48	45, 46, 47	3eqtr4a 2293	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
49		sq1 11002	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
50		oveq1 6059	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
51		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
52	49, 50, 51	3eqtr4a 2293	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
53	48, 52	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
54	44, 53	impbid1 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  ℝcr 8131  0cc0 8132  1c1 8133   · cmul 8137   < clt 8313   − cmin 8449   / cdiv 8951  2c2 9293  ↑cexp 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by: (None)