Theorem resq01 11097

Description: If a real number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
resq01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem resq01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sqval 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = 𝐴)
6	4, 5	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = 𝐴)
7		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	gt0ap0d 8958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 # 0)
9	2, 2, 2, 8	divmulapd 9143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 𝐴))
10	6, 9	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 𝐴)
11	2, 8	dividapd 9117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
12	10, 11	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = 1)
13	12	olcd 746	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
14	13	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
15		simpll 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16, 16	muls1d 8745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · (𝐴 − 1)) = ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴))
18	16, 16	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
19	16, 3	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴↑2) = 𝐴)
21	19, 20	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = 𝐴)
22	18, 21	subeq0bd 8706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 · 𝐴) − 𝐴) = 0)
23	17, 22	eqtr2d 2272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 = (𝐴 · (𝐴 − 1)))
24		0cnd 8319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
25		1red 8341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
26	15, 25	resubcld 8708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
27	26	recnd 8354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
28		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 < 1)
29	15, 25	sublt0d 8899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((𝐴 − 1) < 0 ↔ 𝐴 < 1))
30	28, 29	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) < 0)
31	26, 30	lt0ap0d 8978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 − 1) # 0)
32	24, 16, 27, 31	divmulap3d 9156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → ((0 / (𝐴 − 1)) = 𝐴 ↔ 0 = (𝐴 · (𝐴 − 1))))
33	23, 32	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (0 / (𝐴 − 1)) = 𝐴)
34	27, 31	div0apd 9118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (0 / (𝐴 − 1)) = 0)
35	33, 34	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → 𝐴 = 0)
36	35	orcd 745	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
37	36	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
38		0lt1 8453	. . . 4 ⊢ 0 < 1
39		0re 8326	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
40		1re 8325	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		axltwlin 8393	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1)))
42	39, 40, 41	mp3an12 1368	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 1 → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1)))
43	38, 42	mpi 15	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 1))
44	14, 37, 43	mpjaodan 810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
45		sq0 11069	. . . 4 ⊢ (0↑2) = 0
46		oveq1 6092	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
47		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
48	45, 46, 47	3eqtr4a 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
49		sq1 11072	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
50		oveq1 6092	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
51		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
52	49, 50, 51	3eqtr4a 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
53	48, 52	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
54	44, 53	impbid1 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360   − cmin 8497   / cdiv 9003  2c2 9356  ↑cexp 10977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-seqfrec 10887  df-exp 10978

This theorem is used by:  sq01  11662