Theorem renegcld 8697

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8168  -cneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by:  eqord2  8802  possumd  8887  reapmul1  8913  reapneg  8915  apneg  8929  mulext1  8930  recgt0  9170  prodgt0  9172  prodge0  9174  negiso  9275  nnnegz  9626  peano2z  9659  nn0negleid  9692  difgtsumgt  9693  supinfneg  9974  infsupneg  9975  infssuzex  10644  zsupssdc  10651  monoord2  10901  recj  11610  reneg  11611  imcj  11618  imneg  11619  sq01  11638  cjap  11650  resqrexlemcalc3  11760  resqrexlemgt0  11764  abslt  11832  absle  11833  minmax  11974  mincl  11975  lemininf  11978  ltmininf  11979  bdtri  11984  xrmaxaddlem  12004  xrminrpcl  12018  climge0  12069  cos12dec  12513  absefib  12516  efieq1re  12517  dvdslelemd  12588  bitscmp  12703  bitsinv1lem  12706  4sqexercise2  13156  4sqlemsdc  13157  mulgnegnn  13912  ivthdec  15668  coseq0negpitopi  15860  cosq34lt1  15874  rpabscxpbnd  15965  lgsneg  16057  lgsdilem  16060  lgseisenlem1  16103  dichmul0orlem6  16672