Theorem renegcld 8526

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝcr 7998  -cneg 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  eqord2  8631  possumd  8716  reapmul1  8742  reapneg  8744  apneg  8758  mulext1  8759  recgt0  8997  prodgt0  8999  prodge0  9001  negiso  9102  nnnegz  9449  peano2z  9482  nn0negleid  9515  difgtsumgt  9516  supinfneg  9790  infsupneg  9791  infssuzex  10453  zsupssdc  10458  monoord2  10708  recj  11378  reneg  11379  imcj  11386  imneg  11387  cjap  11417  resqrexlemcalc3  11527  resqrexlemgt0  11531  abslt  11599  absle  11600  minmax  11741  mincl  11742  lemininf  11745  ltmininf  11746  bdtri  11751  xrmaxaddlem  11771  xrminrpcl  11785  climge0  11836  cos12dec  12279  absefib  12282  efieq1re  12283  dvdslelemd  12354  bitscmp  12469  bitsinv1lem  12472  4sqexercise2  12922  4sqlemsdc  12923  mulgnegnn  13669  ivthdec  15318  coseq0negpitopi  15510  cosq34lt1  15524  rpabscxpbnd  15614  lgsneg  15703  lgsdilem  15706  lgseisenlem1  15749