Theorem renegcld 8399

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8280	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ℝcr 7871  -cneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  eqord2  8503  possumd  8588  reapmul1  8614  reapneg  8616  apneg  8630  mulext1  8631  recgt0  8869  prodgt0  8871  prodge0  8873  negiso  8974  nnnegz  9320  peano2z  9353  nn0negleid  9385  difgtsumgt  9386  supinfneg  9660  infsupneg  9661  monoord2  10557  recj  11011  reneg  11012  imcj  11019  imneg  11020  cjap  11050  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemgt0  11164  abslt  11232  absle  11233  minmax  11373  mincl  11374  lemininf  11377  ltmininf  11378  bdtri  11383  xrmaxaddlem  11403  xrminrpcl  11417  climge0  11468  cos12dec  11911  absefib  11914  efieq1re  11915  dvdslelemd  11985  infssuzex  12086  zsupssdc  12091  4sqexercise2  12537  4sqlemsdc  12538  mulgnegnn  13202  ivthdec  14798  coseq0negpitopi  14971  cosq34lt1  14985  rpabscxpbnd  15073  lgsneg  15140  lgsdilem  15143  lgseisenlem1  15186