Theorem renegcld 8452

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8333	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  ℝcr 7924  -cneg 8244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246

This theorem is referenced by:  eqord2  8557  possumd  8642  reapmul1  8668  reapneg  8670  apneg  8684  mulext1  8685  recgt0  8923  prodgt0  8925  prodge0  8927  negiso  9028  nnnegz  9375  peano2z  9408  nn0negleid  9441  difgtsumgt  9442  supinfneg  9716  infsupneg  9717  infssuzex  10376  zsupssdc  10381  monoord2  10631  recj  11178  reneg  11179  imcj  11186  imneg  11187  cjap  11217  resqrexlemcalc3  11327  resqrexlemgt0  11331  abslt  11399  absle  11400  minmax  11541  mincl  11542  lemininf  11545  ltmininf  11546  bdtri  11551  xrmaxaddlem  11571  xrminrpcl  11585  climge0  11636  cos12dec  12079  absefib  12082  efieq1re  12083  dvdslelemd  12154  bitscmp  12269  bitsinv1lem  12272  4sqexercise2  12722  4sqlemsdc  12723  mulgnegnn  13468  ivthdec  15116  coseq0negpitopi  15308  cosq34lt1  15322  rpabscxpbnd  15412  lgsneg  15501  lgsdilem  15504  lgseisenlem1  15547