Theorem renegcld 8537

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝcr 8009  -cneg 8329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331

This theorem is referenced by:  eqord2  8642  possumd  8727  reapmul1  8753  reapneg  8755  apneg  8769  mulext1  8770  recgt0  9008  prodgt0  9010  prodge0  9012  negiso  9113  nnnegz  9460  peano2z  9493  nn0negleid  9526  difgtsumgt  9527  supinfneg  9802  infsupneg  9803  infssuzex  10465  zsupssdc  10470  monoord2  10720  recj  11394  reneg  11395  imcj  11402  imneg  11403  cjap  11433  resqrexlemcalc3  11543  resqrexlemgt0  11547  abslt  11615  absle  11616  minmax  11757  mincl  11758  lemininf  11761  ltmininf  11762  bdtri  11767  xrmaxaddlem  11787  xrminrpcl  11801  climge0  11852  cos12dec  12295  absefib  12298  efieq1re  12299  dvdslelemd  12370  bitscmp  12485  bitsinv1lem  12488  4sqexercise2  12938  4sqlemsdc  12939  mulgnegnn  13685  ivthdec  15334  coseq0negpitopi  15526  cosq34lt1  15540  rpabscxpbnd  15630  lgsneg  15719  lgsdilem  15722  lgseisenlem1  15765