Theorem renegcld 8670

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℝcr 8142  -cneg 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463

This theorem is referenced by:  eqord2  8775  possumd  8860  reapmul1  8886  reapneg  8888  apneg  8902  mulext1  8903  recgt0  9141  prodgt0  9143  prodge0  9145  negiso  9246  nnnegz  9597  peano2z  9630  nn0negleid  9663  difgtsumgt  9664  supinfneg  9945  infsupneg  9946  infssuzex  10615  zsupssdc  10622  monoord2  10872  recj  11577  reneg  11578  imcj  11585  imneg  11586  cjap  11616  resqrexlemcalc3  11726  resqrexlemgt0  11730  abslt  11798  absle  11799  minmax  11940  mincl  11941  lemininf  11944  ltmininf  11945  bdtri  11950  xrmaxaddlem  11970  xrminrpcl  11984  climge0  12035  cos12dec  12479  absefib  12482  efieq1re  12483  dvdslelemd  12554  bitscmp  12669  bitsinv1lem  12672  4sqexercise2  13122  4sqlemsdc  13123  mulgnegnn  13885  ivthdec  15635  coseq0negpitopi  15827  cosq34lt1  15841  rpabscxpbnd  15931  lgsneg  16023  lgsdilem  16026  lgseisenlem1  16069