Theorem renegcld 8709

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8589	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8179  -cneg 8500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502

This theorem is used by:  eqord2  8814  possumd  8900  reapmul1  8926  reapneg  8928  apneg  8942  mulext1  8943  recgt0  9183  prodgt0  9185  prodge0  9187  negiso  9288  nnnegz  9652  peano2z  9685  nn0negleid  9718  difgtsumgt  9719  supinfneg  10005  infsupneg  10006  infssuzex  10677  zsupssdc  10684  monoord2  10938  recj  11648  reneg  11649  imcj  11656  imneg  11657  sq01  11676  cjap  11688  resqrexlemcalc3  11798  resqrexlemgt0  11802  abslt  11871  absle  11872  minmax  12014  mincl  12015  lemininf  12018  ltmininf  12019  bdtri  12025  xrmaxaddlem  12045  xrminrpcl  12059  climge0  12110  cos12dec  12554  absefib  12557  efieq1re  12558  dvdslelemd  12629  bitscmp  12744  bitsinv1lem  12747  4sqexercise2  13201  4sqlemsdc  13202  mulgnegnn  13988  ivthdec  15836  coseq0negpitopi  16029  cosq34lt1  16043  rpabscxpbnd  16137  birthdaylem3  16188  lgsneg  16309  lgsdilem  16312  lgseisenlem1  16355  dichmul0orlem6  16924