Theorem renegcld 8559

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8440	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℝcr 8031  -cneg 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-neg 8353

This theorem is referenced by:  eqord2  8664  possumd  8749  reapmul1  8775  reapneg  8777  apneg  8791  mulext1  8792  recgt0  9030  prodgt0  9032  prodge0  9034  negiso  9135  nnnegz  9482  peano2z  9515  nn0negleid  9548  difgtsumgt  9549  supinfneg  9829  infsupneg  9830  infssuzex  10494  zsupssdc  10499  monoord2  10749  recj  11445  reneg  11446  imcj  11453  imneg  11454  cjap  11484  resqrexlemcalc3  11594  resqrexlemgt0  11598  abslt  11666  absle  11667  minmax  11808  mincl  11809  lemininf  11812  ltmininf  11813  bdtri  11818  xrmaxaddlem  11838  xrminrpcl  11852  climge0  11903  cos12dec  12347  absefib  12350  efieq1re  12351  dvdslelemd  12422  bitscmp  12537  bitsinv1lem  12540  4sqexercise2  12990  4sqlemsdc  12991  mulgnegnn  13737  ivthdec  15387  coseq0negpitopi  15579  cosq34lt1  15593  rpabscxpbnd  15683  lgsneg  15772  lgsdilem  15775  lgseisenlem1  15818