Theorem renegcld 8714

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8594	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8184   -cneg 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  eqord2  8819  possumd  8905  reapmul1  8931  reapneg  8933  apneg  8947  mulext1  8948  recgt0  9188  prodgt0  9190  prodge0  9192  negiso  9293  nnnegz  9656  peano2z  9689  nn0negleid  9722  difgtsumgt  9723  supinfneg  10010  infsupneg  10011  infssuzex  10682  zsupssdc  10689  monoord2  10943  recj  11653  reneg  11654  imcj  11661  imneg  11662  sq01  11681  cjap  11693  resqrexlemcalc3  11803  resqrexlemgt0  11807  abslt  11876  absle  11877  minmax  12019  mincl  12020  lemininf  12023  ltmininf  12024  bdtri  12030  xrmaxaddlem  12050  xrminrpcl  12064  climge0  12115  cos12dec  12559  absefib  12562  efieq1re  12563  dvdslelemd  12634  bitscmp  12749  bitsinv1lem  12752  4sqexercise2  13206  4sqlemsdc  13207  mulgnegnn  13993  ivthdec  15887  coseq0negpitopi  16080  cosq34lt1  16095  rpabscxpbnd  16192  birthdaylem3  16244  lgsneg  16365  lgsdilem  16368  lgseisenlem1  16411  dichmul0orlem6  16980