Theorem renegcld 8618

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℝcr 8091  -cneg 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412

This theorem is referenced by:  eqord2  8723  possumd  8808  reapmul1  8834  reapneg  8836  apneg  8850  mulext1  8851  recgt0  9089  prodgt0  9091  prodge0  9093  negiso  9194  nnnegz  9543  peano2z  9576  nn0negleid  9609  difgtsumgt  9610  supinfneg  9890  infsupneg  9891  infssuzex  10556  zsupssdc  10561  monoord2  10811  recj  11507  reneg  11508  imcj  11515  imneg  11516  cjap  11546  resqrexlemcalc3  11656  resqrexlemgt0  11660  abslt  11728  absle  11729  minmax  11870  mincl  11871  lemininf  11874  ltmininf  11875  bdtri  11880  xrmaxaddlem  11900  xrminrpcl  11914  climge0  11965  cos12dec  12409  absefib  12412  efieq1re  12413  dvdslelemd  12484  bitscmp  12599  bitsinv1lem  12602  4sqexercise2  13052  4sqlemsdc  13053  mulgnegnn  13799  ivthdec  15455  coseq0negpitopi  15647  cosq34lt1  15661  rpabscxpbnd  15751  lgsneg  15843  lgsdilem  15846  lgseisenlem1  15889