Theorem renegcld 8653

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8534	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ℝcr 8126  -cneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  eqord2  8758  possumd  8843  reapmul1  8869  reapneg  8871  apneg  8885  mulext1  8886  recgt0  9124  prodgt0  9126  prodge0  9128  negiso  9229  nnnegz  9580  peano2z  9613  nn0negleid  9646  difgtsumgt  9647  supinfneg  9927  infsupneg  9928  infssuzex  10593  zsupssdc  10598  monoord2  10848  recj  11552  reneg  11553  imcj  11560  imneg  11561  cjap  11591  resqrexlemcalc3  11701  resqrexlemgt0  11705  abslt  11773  absle  11774  minmax  11915  mincl  11916  lemininf  11919  ltmininf  11920  bdtri  11925  xrmaxaddlem  11945  xrminrpcl  11959  climge0  12010  cos12dec  12454  absefib  12457  efieq1re  12458  dvdslelemd  12529  bitscmp  12644  bitsinv1lem  12647  4sqexercise2  13097  4sqlemsdc  13098  mulgnegnn  13849  ivthdec  15509  coseq0negpitopi  15701  cosq34lt1  15715  rpabscxpbnd  15805  lgsneg  15897  lgsdilem  15900  lgseisenlem1  15943