Theorem renegcld 8454

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  ℝcr 7926  -cneg 8246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248

This theorem is referenced by:  eqord2  8559  possumd  8644  reapmul1  8670  reapneg  8672  apneg  8686  mulext1  8687  recgt0  8925  prodgt0  8927  prodge0  8929  negiso  9030  nnnegz  9377  peano2z  9410  nn0negleid  9443  difgtsumgt  9444  supinfneg  9718  infsupneg  9719  infssuzex  10378  zsupssdc  10383  monoord2  10633  recj  11211  reneg  11212  imcj  11219  imneg  11220  cjap  11250  resqrexlemcalc3  11360  resqrexlemgt0  11364  abslt  11432  absle  11433  minmax  11574  mincl  11575  lemininf  11578  ltmininf  11579  bdtri  11584  xrmaxaddlem  11604  xrminrpcl  11618  climge0  11669  cos12dec  12112  absefib  12115  efieq1re  12116  dvdslelemd  12187  bitscmp  12302  bitsinv1lem  12305  4sqexercise2  12755  4sqlemsdc  12756  mulgnegnn  13501  ivthdec  15149  coseq0negpitopi  15341  cosq34lt1  15355  rpabscxpbnd  15445  lgsneg  15534  lgsdilem  15537  lgseisenlem1  15580