Theorem renegcld 8423

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8304	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℝcr 7895  -cneg 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  eqord2  8528  possumd  8613  reapmul1  8639  reapneg  8641  apneg  8655  mulext1  8656  recgt0  8894  prodgt0  8896  prodge0  8898  negiso  8999  nnnegz  9346  peano2z  9379  nn0negleid  9411  difgtsumgt  9412  supinfneg  9686  infsupneg  9687  infssuzex  10340  zsupssdc  10345  monoord2  10595  recj  11049  reneg  11050  imcj  11057  imneg  11058  cjap  11088  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemgt0  11202  abslt  11270  absle  11271  minmax  11412  mincl  11413  lemininf  11416  ltmininf  11417  bdtri  11422  xrmaxaddlem  11442  xrminrpcl  11456  climge0  11507  cos12dec  11950  absefib  11953  efieq1re  11954  dvdslelemd  12025  bitscmp  12140  bitsinv1lem  12143  4sqexercise2  12593  4sqlemsdc  12594  mulgnegnn  13338  ivthdec  14964  coseq0negpitopi  15156  cosq34lt1  15170  rpabscxpbnd  15260  lgsneg  15349  lgsdilem  15352  lgseisenlem1  15395