Theorem renegcld 8549

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝcr 8021  -cneg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-neg 8343

This theorem is referenced by:  eqord2  8654  possumd  8739  reapmul1  8765  reapneg  8767  apneg  8781  mulext1  8782  recgt0  9020  prodgt0  9022  prodge0  9024  negiso  9125  nnnegz  9472  peano2z  9505  nn0negleid  9538  difgtsumgt  9539  supinfneg  9819  infsupneg  9820  infssuzex  10483  zsupssdc  10488  monoord2  10738  recj  11418  reneg  11419  imcj  11426  imneg  11427  cjap  11457  resqrexlemcalc3  11567  resqrexlemgt0  11571  abslt  11639  absle  11640  minmax  11781  mincl  11782  lemininf  11785  ltmininf  11786  bdtri  11791  xrmaxaddlem  11811  xrminrpcl  11825  climge0  11876  cos12dec  12319  absefib  12322  efieq1re  12323  dvdslelemd  12394  bitscmp  12509  bitsinv1lem  12512  4sqexercise2  12962  4sqlemsdc  12963  mulgnegnn  13709  ivthdec  15358  coseq0negpitopi  15550  cosq34lt1  15564  rpabscxpbnd  15654  lgsneg  15743  lgsdilem  15746  lgseisenlem1  15789