Theorem renegcld 8708

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8588	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8178  -cneg 8499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500  df-neg 8501

This theorem is used by:  eqord2  8813  possumd  8899  reapmul1  8925  reapneg  8927  apneg  8941  mulext1  8942  recgt0  9182  prodgt0  9184  prodge0  9186  negiso  9287  nnnegz  9651  peano2z  9684  nn0negleid  9717  difgtsumgt  9718  supinfneg  10004  infsupneg  10005  infssuzex  10676  zsupssdc  10683  monoord2  10936  recj  11646  reneg  11647  imcj  11654  imneg  11655  sq01  11674  cjap  11686  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemgt0  11800  abslt  11869  absle  11870  minmax  12011  mincl  12012  lemininf  12015  ltmininf  12016  bdtri  12022  xrmaxaddlem  12042  xrminrpcl  12056  climge0  12107  cos12dec  12551  absefib  12554  efieq1re  12555  dvdslelemd  12626  bitscmp  12741  bitsinv1lem  12744  4sqexercise2  13198  4sqlemsdc  13199  mulgnegnn  13984  ivthdec  15794  coseq0negpitopi  15987  cosq34lt1  16001  rpabscxpbnd  16095  birthdaylem3  16146  lgsneg  16241  lgsdilem  16244  lgseisenlem1  16287  dichmul0orlem6  16856