Theorem renegcld 8558

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8439	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℝcr 8030  -cneg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  eqord2  8663  possumd  8748  reapmul1  8774  reapneg  8776  apneg  8790  mulext1  8791  recgt0  9029  prodgt0  9031  prodge0  9033  negiso  9134  nnnegz  9481  peano2z  9514  nn0negleid  9547  difgtsumgt  9548  supinfneg  9828  infsupneg  9829  infssuzex  10492  zsupssdc  10497  monoord2  10747  recj  11427  reneg  11428  imcj  11435  imneg  11436  cjap  11466  resqrexlemcalc3  11576  resqrexlemgt0  11580  abslt  11648  absle  11649  minmax  11790  mincl  11791  lemininf  11794  ltmininf  11795  bdtri  11800  xrmaxaddlem  11820  xrminrpcl  11834  climge0  11885  cos12dec  12328  absefib  12331  efieq1re  12332  dvdslelemd  12403  bitscmp  12518  bitsinv1lem  12521  4sqexercise2  12971  4sqlemsdc  12972  mulgnegnn  13718  ivthdec  15367  coseq0negpitopi  15559  cosq34lt1  15573  rpabscxpbnd  15663  lgsneg  15752  lgsdilem  15755  lgseisenlem1  15798