Theorem renegcld 8707

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8178  -cneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  eqord2  8812  possumd  8897  reapmul1  8923  reapneg  8925  apneg  8939  mulext1  8940  recgt0  9180  prodgt0  9182  prodge0  9184  negiso  9285  nnnegz  9647  peano2z  9680  nn0negleid  9713  difgtsumgt  9714  supinfneg  9995  infsupneg  9996  infssuzex  10666  zsupssdc  10673  monoord2  10923  recj  11632  reneg  11633  imcj  11640  imneg  11641  sq01  11660  cjap  11672  resqrexlemcalc3  11782  resqrexlemgt0  11786  abslt  11854  absle  11855  minmax  11996  mincl  11997  lemininf  12000  ltmininf  12001  bdtri  12006  xrmaxaddlem  12026  xrminrpcl  12040  climge0  12091  cos12dec  12535  absefib  12538  efieq1re  12539  dvdslelemd  12610  bitscmp  12725  bitsinv1lem  12728  4sqexercise2  13178  4sqlemsdc  13179  mulgnegnn  13935  ivthdec  15745  coseq0negpitopi  15937  cosq34lt1  15951  rpabscxpbnd  16042  birthdaylem3  16089  lgsneg  16143  lgsdilem  16146  lgseisenlem1  16189  dichmul0orlem6  16758