Theorem renegcld 8487

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  ℝcr 7959  -cneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281

This theorem is referenced by:  eqord2  8592  possumd  8677  reapmul1  8703  reapneg  8705  apneg  8719  mulext1  8720  recgt0  8958  prodgt0  8960  prodge0  8962  negiso  9063  nnnegz  9410  peano2z  9443  nn0negleid  9476  difgtsumgt  9477  supinfneg  9751  infsupneg  9752  infssuzex  10413  zsupssdc  10418  monoord2  10668  recj  11293  reneg  11294  imcj  11301  imneg  11302  cjap  11332  resqrexlemcalc3  11442  resqrexlemgt0  11446  abslt  11514  absle  11515  minmax  11656  mincl  11657  lemininf  11660  ltmininf  11661  bdtri  11666  xrmaxaddlem  11686  xrminrpcl  11700  climge0  11751  cos12dec  12194  absefib  12197  efieq1re  12198  dvdslelemd  12269  bitscmp  12384  bitsinv1lem  12387  4sqexercise2  12837  4sqlemsdc  12838  mulgnegnn  13583  ivthdec  15231  coseq0negpitopi  15423  cosq34lt1  15437  rpabscxpbnd  15527  lgsneg  15616  lgsdilem  15619  lgseisenlem1  15662