HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 88 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 8701-8800   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremrecrecapi 8701 A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. Theorem I.10 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 9-Feb-1995.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ด # 0    โ‡’   (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด
 
Theoremdividapi 8702 A number divided by itself is one. (Contributed by NM, 9-Feb-1995.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ด # 0    โ‡’   (๐ด / ๐ด) = 1
 
Theoremdiv0api 8703 Division into zero is zero. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ด # 0    โ‡’   (0 / ๐ด) = 0
 
Theoremdivclapzi 8704 Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremdivcanap1zi 8705 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdivcanap2zi 8706 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด)
 
Theoremdivrecapzi 8707 Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
 
Theoremdivcanap3zi 8708 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdivcanap4zi 8709 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremrec11api 8710 Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    โ‡’   ((๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((1 / ๐ด) = (1 / ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremdivclapi 8711 Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    โ‡’   (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚
 
Theoremdivcanap2i 8712 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    โ‡’   (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด
 
Theoremdivcanap1i 8713 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด
 
Theoremdivrecapi 8714 Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    โ‡’   (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))
 
Theoremdivcanap3i 8715 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    โ‡’   ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด
 
Theoremdivcanap4i 8716 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    โ‡’   ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด
 
Theoremdivap0i 8717 The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ด # 0    &   ๐ต # 0    โ‡’   (๐ด / ๐ต) # 0
 
Theoremrec11apii 8718 Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ด # 0    &   ๐ต # 0    โ‡’   ((1 / ๐ด) = (1 / ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต)
 
Theoremdivassapzi 8719 An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ถ # 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdivmulapzi 8720 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ ((๐ด / ๐ต) = ๐ถ โ†” (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ด))
 
Theoremdivdirapzi 8721 Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ถ # 0 โ†’ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdivdiv23apzi 8722 Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    โ‡’   ((๐ต # 0 โˆง ๐ถ # 0) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต))
 
Theoremdivmulapi 8723 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) = ๐ถ โ†” (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ด)
 
Theoremdivdiv32api 8724 Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    &   ๐ถ # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต)
 
Theoremdivassapi 8725 An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ # 0    โ‡’   ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremdivdirapi 8726 Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ # 0    โ‡’   ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremdiv23api 8727 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ # 0    โ‡’   ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต)
 
Theoremdiv11api 8728 One-to-one relationship for division. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต)
 
Theoremdivmuldivapi 8729 Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ท โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    &   ๐ท # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremdivmul13api 8730 Swap denominators of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ท โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    &   ๐ท # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ถ / ๐ต) ยท (๐ด / ๐ท))
 
Theoremdivadddivapi 8731 Addition of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ท โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    &   ๐ท # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) + (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremdivdivdivapi 8732 Division of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ท โˆˆ โ„‚    &   ๐ต # 0    &   ๐ท # 0    &   ๐ถ # 0    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremrerecclapzi 8733 Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด # 0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
 
Theoremrerecclapi 8734 Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ด # 0    โ‡’   (1 / ๐ด) โˆˆ โ„
 
Theoremredivclapzi 8735 Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ต # 0 โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremredivclapi 8736 Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ต # 0    โ‡’   (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„
 
Theoremdiv1d 8737 A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 1) = ๐ด)
 
Theoremrecclapd 8738 Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremrecap0d 8739 The reciprocal of a number apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) # 0)
 
Theoremrecidapd 8740 Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
 
Theoremrecidap2d 8741 Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
 
Theoremrecrecapd 8742 A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด)
 
Theoremdividapd 8743 A number divided by itself is one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ด) = 1)
 
Theoremdiv0apd 8744 Division into zero is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐ด) = 0)
 
Theoremapmul1 8745 Multiplication of both sides of complex apartness by a complex number apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremapmul2 8746 Multiplication of both sides of complex apartness by a complex number apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) # (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremdivclapd 8747 Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremdivcanap1d 8748 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdivcanap2d 8749 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด)
 
Theoremdivrecapd 8750 Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
 
Theoremdivrecap2d 8751 Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท ๐ด))
 
Theoremdivcanap3d 8752 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdivcanap4d 8753 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdiveqap0d 8754 If a ratio is zero, the numerator is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = 0)
 
Theoremdiveqap1d 8755 Equality in terms of unit ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremdiveqap1ad 8756 The quotient of two complex numbers is one iff they are equal. Deduction form of diveqap1 8662. Generalization of diveqap1d 8755. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) = 1 โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremdiveqap0ad 8757 A fraction of complex numbers is zero iff its numerator is. Deduction form of diveqap0 8639. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) = 0 โ†” ๐ด = 0))
 
Theoremdivap1d 8758 If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) # 1)
 
Theoremdivap0bd 8759 A ratio is zero iff the numerator is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด # 0 โ†” (๐ด / ๐ต) # 0))
 
Theoremdivnegapd 8760 Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -(๐ด / ๐ต) = (-๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivneg2apd 8761 Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -(๐ด / ๐ต) = (๐ด / -๐ต))
 
Theoremdiv2negapd 8762 Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivap0d 8763 The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) # 0)
 
Theoremrecdivapd 8764 The reciprocal of a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด))
 
Theoremrecdivap2d 8765 Division into a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ด) / ๐ต) = (1 / (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremdivcanap6d 8766 Cancellation of inverted fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ด)) = 1)
 
Theoremddcanapd 8767 Cancellation in a double division. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / (๐ด / ๐ต)) = ๐ต)
 
Theoremrec11apd 8768 Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) = (1 / ๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremdivmulapd 8769 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) = ๐ถ โ†” (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ด))
 
Theoremapdivmuld 8770 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) # ๐ถ โ†” (๐ต ยท ๐ถ) # ๐ด))
 
Theoremdiv32apd 8771 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ถ / ๐ต)))
 
Theoremdiv13apd 8772 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ด))
 
Theoremdivdiv32apd 8773 Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต))
 
Theoremdivcanap5d 8774 Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivcanap5rd 8775 Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivcanap7d 8776 Cancel equal divisors in a division. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) / (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdmdcanapd 8777 Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ถ))
 
Theoremdmdcanap2d 8778 Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ))
 
Theoremdivdivap1d 8779 Division into a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremdivdivap2d 8780 Division by a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต))
 
Theoremdivmulap2d 8781 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” ๐ด = (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremdivmulap3d 8782 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” ๐ด = (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremdivassapd 8783 An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdiv12apd 8784 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ)))
 
Theoremdiv23apd 8785 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต))
 
Theoremdivdirapd 8786 Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdivsubdirapd 8787 Distribution of division over subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdiv11apd 8788 One-to-one relationship for division. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremdivmuldivapd 8789 Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremdivmuleqapd 8790 Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (๐ถ / ๐ท) โ†” (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremrerecclapd 8791 Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
 
Theoremredivclapd 8792 Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremdiveqap1bd 8793 If two complex numbers are equal, their quotient is one. One-way deduction form of diveqap1 8662. Converse of diveqap1d 8755. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) = 1)
 
Theoremdiv2subap 8794 Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # ๐ท)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremdiv2subapd 8795 Swap subtrahend and minuend inside the numerator and denominator of a fraction. Deduction form of div2subap 8794. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ท โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremsubrecap 8796 Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆ’ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremsubrecapi 8797 Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ด # 0    &   ๐ต # 0    โ‡’   ((1 / ๐ด) โˆ’ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremsubrecapd 8798 Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ด) โˆ’ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremmvllmulapd 8799 Move LHS left multiplication to RHS. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐ถ / ๐ด))
 
Theoremrerecapb 8800* A real number has a multiplicative inverse if and only if it is apart from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด # 0 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14834
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >