Type | Label | Description |
Statement |
|
Theorem | recrecapi 8701 |
A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. Theorem I.10
of [Apostol] p. 18. (Contributed by
NM, 9-Feb-1995.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ด # 0
โ โข (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด |
|
Theorem | dividapi 8702 |
A number divided by itself is one. (Contributed by NM,
9-Feb-1995.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ด # 0
โ โข (๐ด / ๐ด) = 1 |
|
Theorem | div0api 8703 |
Division into zero is zero. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ด # 0
โ โข (0 / ๐ด) = 0 |
|
Theorem | divclapzi 8704 |
Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
|
Theorem | divcanap1zi 8705 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | divcanap2zi 8706 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด) |
|
Theorem | divrecapzi 8707 |
Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
|
Theorem | divcanap3zi 8708 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | divcanap4zi 8709 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | rec11api 8710 |
Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((๐ด # 0 โง ๐ต # 0) โ ((1 / ๐ด) = (1 / ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | divclapi 8711 |
Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข (๐ด / ๐ต) โ โ |
|
Theorem | divcanap2i 8712 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด |
|
Theorem | divcanap1i 8713 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด |
|
Theorem | divrecapi 8714 |
Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)) |
|
Theorem | divcanap3i 8715 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด |
|
Theorem | divcanap4i 8716 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด |
|
Theorem | divap0i 8717 |
The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed
by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด # 0 & โข ๐ต # 0
โ โข (๐ด / ๐ต) # 0 |
|
Theorem | rec11apii 8718 |
Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด # 0 & โข ๐ต # 0
โ โข ((1 / ๐ด) = (1 / ๐ต) โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | divassapzi 8719 |
An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (๐ถ # 0 โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | divmulapzi 8720 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ ((๐ด / ๐ต) = ๐ถ โ (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ด)) |
|
Theorem | divdirapzi 8721 |
Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (๐ถ # 0 โ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | divdiv23apzi 8722 |
Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข ((๐ต # 0 โง ๐ถ # 0) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต)) |
|
Theorem | divmulapi 8723 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 29-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข ((๐ด / ๐ต) = ๐ถ โ (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ด) |
|
Theorem | divdiv32api 8724 |
Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ต # 0 & โข ๐ถ # 0
โ โข ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต) |
|
Theorem | divassapi 8725 |
An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ถ # 0
โ โข ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)) |
|
Theorem | divdirapi 8726 |
Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ถ # 0
โ โข ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ)) |
|
Theorem | div23api 8727 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim
Kingdon, 9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ถ # 0
โ โข ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต) |
|
Theorem | div11api 8728 |
One-to-one relationship for division. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ถ # 0
โ โข ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | divmuldivapi 8729 |
Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ท โ โ & โข ๐ต # 0 & โข ๐ท # 0
โ โข ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท)) |
|
Theorem | divmul13api 8730 |
Swap denominators of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ท โ โ & โข ๐ต # 0 & โข ๐ท # 0
โ โข ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ถ / ๐ต) ยท (๐ด / ๐ท)) |
|
Theorem | divadddivapi 8731 |
Addition of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ท โ โ & โข ๐ต # 0 & โข ๐ท # 0
โ โข ((๐ด / ๐ต) + (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท)) |
|
Theorem | divdivdivapi 8732 |
Division of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ท โ โ & โข ๐ต # 0 & โข ๐ท # 0 & โข ๐ถ # 0
โ โข ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | rerecclapzi 8733 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข (๐ด # 0 โ (1 / ๐ด) โ โ) |
|
Theorem | rerecclapi 8734 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ด # 0
โ โข (1 / ๐ด) โ โ |
|
Theorem | redivclapzi 8735 |
Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข (๐ต # 0 โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
|
Theorem | redivclapi 8736 |
Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon,
9-Mar-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ต # 0
โ โข (๐ด / ๐ต) โ โ |
|
Theorem | div1d 8737 |
A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro,
27-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ด / 1) = ๐ด) |
|
Theorem | recclapd 8738 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ (1 / ๐ด) โ โ) |
|
Theorem | recap0d 8739 |
The reciprocal of a number apart from zero is apart from zero.
(Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ (1 / ๐ด) # 0) |
|
Theorem | recidapd 8740 |
Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1) |
|
Theorem | recidap2d 8741 |
Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1) |
|
Theorem | recrecapd 8742 |
A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. (Contributed
by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด) |
|
Theorem | dividapd 8743 |
A number divided by itself is one. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ด) = 1) |
|
Theorem | div0apd 8744 |
Division into zero is zero. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ (0 / ๐ด) = 0) |
|
Theorem | apmul1 8745 |
Multiplication of both sides of complex apartness by a complex number
apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | apmul2 8746 |
Multiplication of both sides of complex apartness by a complex number
apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) # (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | divclapd 8747 |
Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
|
Theorem | divcanap1d 8748 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | divcanap2d 8749 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด) |
|
Theorem | divrecapd 8750 |
Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of
[Apostol] p. 18. (Contributed by Jim
Kingdon, 29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
|
Theorem | divrecap2d 8751 |
Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) |
|
Theorem | divcanap3d 8752 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | divcanap4d 8753 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | diveqap0d 8754 |
If a ratio is zero, the numerator is zero. (Contributed by Jim
Kingdon, 19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = 0) โ โข (๐ โ ๐ด = 0) |
|
Theorem | diveqap1d 8755 |
Equality in terms of unit ratio. (Contributed by Jim Kingdon,
19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = 1) โ โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | diveqap1ad 8756 |
The quotient of two complex numbers is one iff they are equal.
Deduction form of diveqap1 8662. Generalization of diveqap1d 8755.
(Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) = 1 โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | diveqap0ad 8757 |
A fraction of complex numbers is zero iff its numerator is. Deduction
form of diveqap0 8639. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) = 0 โ ๐ด = 0)) |
|
Theorem | divap1d 8758 |
If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one.
(Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ด # ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) # 1) |
|
Theorem | divap0bd 8759 |
A ratio is zero iff the numerator is zero. (Contributed by Jim
Kingdon, 19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด # 0 โ (๐ด / ๐ต) # 0)) |
|
Theorem | divnegapd 8760 |
Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon,
19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ -(๐ด / ๐ต) = (-๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divneg2apd 8761 |
Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon,
19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ -(๐ด / ๐ต) = (๐ด / -๐ต)) |
|
Theorem | div2negapd 8762 |
Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon,
19-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divap0d 8763 |
The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed
by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) # 0) |
|
Theorem | recdivapd 8764 |
The reciprocal of a ratio. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด)) |
|
Theorem | recdivap2d 8765 |
Division into a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((1 / ๐ด) / ๐ต) = (1 / (๐ด ยท ๐ต))) |
|
Theorem | divcanap6d 8766 |
Cancellation of inverted fractions. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ด)) = 1) |
|
Theorem | ddcanapd 8767 |
Cancellation in a double division. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / (๐ด / ๐ต)) = ๐ต) |
|
Theorem | rec11apd 8768 |
Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon,
3-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ (1 / ๐ด) = (1 / ๐ต)) โ โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | divmulapd 8769 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) = ๐ถ โ (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ด)) |
|
Theorem | apdivmuld 8770 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 26-Dec-2022.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) # ๐ถ โ (๐ต ยท ๐ถ) # ๐ด)) |
|
Theorem | div32apd 8771 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim
Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ถ / ๐ต))) |
|
Theorem | div13apd 8772 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim
Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ด)) |
|
Theorem | divdiv32apd 8773 |
Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon,
8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต)) |
|
Theorem | divcanap5d 8774 |
Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Jim
Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ด) / (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divcanap5rd 8775 |
Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Jim
Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divcanap7d 8776 |
Cancel equal divisors in a division. (Contributed by Jim Kingdon,
8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ถ) / (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | dmdcanapd 8777 |
Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ถ)) |
|
Theorem | dmdcanap2d 8778 |
Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ)) |
|
Theorem | divdivap1d 8779 |
Division into a fraction. (Contributed by Jim Kingdon,
8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | divdivap2d 8780 |
Division by a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต)) |
|
Theorem | divmulap2d 8781 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ ๐ด = (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | divmulap3d 8782 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ ๐ด = (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | divassapd 8783 |
An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | div12apd 8784 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim
Kingdon, 2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ))) |
|
Theorem | div23apd 8785 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim
Kingdon, 2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต)) |
|
Theorem | divdirapd 8786 |
Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon,
2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | divsubdirapd 8787 |
Distribution of division over subtraction. (Contributed by Jim
Kingdon, 2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โ (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | div11apd 8788 |
One-to-one relationship for division. (Contributed by Jim Kingdon,
2-Mar-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) & โข (๐ โ (๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ)) โ โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | divmuldivapd 8789 |
Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon,
30-Jul-2021.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ท # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) |
|
Theorem | divmuleqapd 8790 |
Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario
Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ท # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) = (๐ถ / ๐ท) โ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | rerecclapd 8791 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) โ โข (๐ โ (1 / ๐ด) โ โ) |
|
Theorem | redivclapd 8792 |
Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon,
29-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
|
Theorem | diveqap1bd 8793 |
If two complex numbers are equal, their quotient is one. One-way
deduction form of diveqap1 8662. Converse of diveqap1d 8755. (Contributed
by David Moews, 28-Feb-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)
|
โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต # 0) & โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) = 1) |
|
Theorem | div2subap 8794 |
Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott
Fenton, 24-Jun-2013.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ โง ๐ถ # ๐ท)) โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ท)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ท โ ๐ถ))) |
|
Theorem | div2subapd 8795 |
Swap subtrahend and minuend inside the numerator and denominator of a
fraction. Deduction form of div2subap 8794. (Contributed by David Moews,
28-Feb-2017.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # ๐ท) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ท)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ท โ ๐ถ))) |
|
Theorem | subrecap 8796 |
Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))) |
|
Theorem | subrecapi 8797 |
Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton,
9-Jan-2017.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด # 0 & โข ๐ต # 0
โ โข ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต)) |
|
Theorem | subrecapd 8798 |
Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton,
9-Jan-2017.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))) |
|
Theorem | mvllmulapd 8799 |
Move LHS left multiplication to RHS. (Contributed by Jim Kingdon,
10-Jun-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) = ๐ถ) โ โข (๐ โ ๐ต = (๐ถ / ๐ด)) |
|
Theorem | rerecapb 8800* |
A real number has a multiplicative inverse if and only if it is apart
from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p.
(varies). (Contributed by Jim
Kingdon, 18-Jan-2025.)
|
โข (๐ด โ โ โ (๐ด # 0 โ โ๐ฅ โ โ (๐ด ยท ๐ฅ) = 1)) |