ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subexsub GIF version

Theorem subexsub 8306
Description: A subtraction law: Exchanging the subtrahend and the result of the subtraction. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlsub.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subexsub (𝜑 → (𝐴 = (𝐶𝐵) ↔ 𝐵 = (𝐶𝐴)))

Proof of Theorem subexsub
StepHypRef Expression
1 addlsub.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addlsub.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addlsub.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3addlsub 8304 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))
51, 2, 3addrsub 8305 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐵 = (𝐶𝐴)))
64, 5bitr3d 190 1 (𝜑 → (𝐴 = (𝐶𝐵) ↔ 𝐵 = (𝐶𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5868  cc 7787   + caddc 7792  cmin 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-setind 4532  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-sub 8107
This theorem is referenced by:  divalgmod  11902
  Copyright terms: Public domain W3C validator