Theorem tfrcllembex 6567

Description: Lemma for tfrcl 6573. The set 𝐵 exists. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x	⊢ (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓:𝑥⟶𝑆) → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:𝑥⟶𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))}
tfrcllembacc.3	⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ∃𝑔(𝑔:𝑧⟶𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}))}
tfrcllembacc.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑋) → suc 𝑥 ∈ 𝑋)
tfrcllembacc.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑋)
tfrcllembacc.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ∃𝑔(𝑔:𝑧⟶𝑆 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑧 (𝑔‘𝑤) = (𝐺‘(𝑔 ↾ 𝑤))))

Assertion

Ref	Expression
tfrcllembex	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑔,ℎ,𝑧   𝑤,𝐵,𝑔,𝑧   𝐷,ℎ,𝑧   ℎ,𝐺,𝑧   𝑤,𝐺,𝑦   𝑆,𝑔,ℎ,𝑧   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑦,𝑤,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem tfrcllembex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
2		tfrcl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
3		tfrcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ord 𝑋)
4		tfrcl.ex	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓:𝑥⟶𝑆) → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)
5		tfrcllemsucfn.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:𝑥⟶𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))}
6		tfrcllembacc.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {ℎ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ∃𝑔(𝑔:𝑧⟶𝑆 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}))}
7		tfrcllembacc.u	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑋) → suc 𝑥 ∈ 𝑋)
8		tfrcllembacc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑋)
9		tfrcllembacc.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ∃𝑔(𝑔:𝑧⟶𝑆 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑧 (𝑔‘𝑤) = (𝐺‘(𝑔 ↾ 𝑤))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembfn 6566	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵:𝐷⟶𝑆)
11		fex 5893	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐵:𝐷⟶𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ∪ 𝐵 ∈ V)
12	10, 8, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ∈ V)
13		uniexb 4576	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
14	12, 13	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  Vcvv 2803   ∪ cun 3199  {csn 3673  ⟨cop 3676  ∪ cuni 3898  Ord word 4465  suc csuc 4468   ↾ cres 4733  Fun wfun 5327  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  recscrecs 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-recs 6514

This theorem is referenced by:  tfrcllemex  6569