Theorem 0fin 8730

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fin	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7581	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		ssid 3937	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ∅
3		ssnnfi 8721	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ωcom 7560  Fincfn 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-om 7561  df-en 8493  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  nfielex  8731  xpfi  8773  fnfi  8780  iunfi  8796  fczfsuppd  8835  fsuppun  8836  0fsupp  8839  r1fin  9186  acndom  9462  numwdom  9470  ackbij1lem18  9648  sdom2en01  9713  fin23lem26  9736  isfin1-3  9797  gchxpidm  10080  fzfi  13335  fzofi  13337  hasheq0  13720  hashxp  13791  lcmf0  15968  0hashbc  16333  acsfn0  16923  isdrs2  17541  fpwipodrs  17766  symgfisg  18588  dsmm0cl  20429  mplsubg  20675  mpllss  20676  psrbag0  20733  mat0dimbas0  21071  mat0dim0  21072  mat0dimid  21073  mat0dimscm  21074  mat0dimcrng  21075  mat0scmat  21143  mavmul0  21157  mavmul0g  21158  mdet0pr  21197  m1detdiag  21202  d0mat2pmat  21343  chpmat0d  21439  fctop  21609  cmpfi  22013  bwth  22015  comppfsc  22137  ptbasid  22180  cfinfil  22498  ufinffr  22534  fin1aufil  22537  alexsubALTlem2  22653  alexsubALTlem4  22655  ptcmplem2  22658  tsmsfbas  22733  xrge0gsumle  23438  xrge0tsms  23439  fta1  24904  uhgr0edgfi  27030  fusgrfisbase  27118  vtxdg0e  27264  wwlksnfi  27692  hashxpe  30555  xrge0tsmsd  30742  esumnul  31417  esum0  31418  esumcst  31432  esumsnf  31433  esumpcvgval  31447  sibf0  31702  eulerpartlemt  31739  derang0  32529  topdifinffinlem  34764  matunitlindf  35055  0totbnd  35211  heiborlem6  35254  mzpcompact2lem  39692  rp-isfinite6  40226  0pwfi  41693  fouriercn  42874  rrxtopn0  42935  salexct  42974  sge0rnn0  43007  sge00  43015  sge0sn  43018  ovn0val  43189  ovn02  43207  hoidmv0val  43222  hoidmvle  43239  hoiqssbl  43264  von0val  43310  vonhoire  43311  vonioo  43321  vonicc  43324  vonsn  43330  lcoc0  44831  lco0  44836