MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fin 8735
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 7589 . 2 ∅ ∈ ω
2 ssid 3988 . 2 ∅ ⊆ ∅
3 ssnnfi 8726 . 2 ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 688 1 ∅ ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  wss 3935  c0 4290  ωcom 7568  Fincfn 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-om 7569  df-en 8499  df-fin 8502
This theorem is referenced by:  nfielex  8736  xpfi  8778  fnfi  8785  iunfi  8801  fczfsuppd  8840  fsuppun  8841  0fsupp  8844  r1fin  9191  acndom  9466  numwdom  9474  ackbij1lem18  9648  sdom2en01  9713  fin23lem26  9736  isfin1-3  9797  gchxpidm  10080  fzfi  13330  fzofi  13332  hasheq0  13714  hashxp  13785  lcmf0  15968  0hashbc  16333  acsfn0  16921  isdrs2  17539  fpwipodrs  17764  symgfisg  18527  mplsubg  20147  mpllss  20148  psrbag0  20204  dsmm0cl  20814  mat0dimbas0  21005  mat0dim0  21006  mat0dimid  21007  mat0dimscm  21008  mat0dimcrng  21009  mat0scmat  21077  mavmul0  21091  mavmul0g  21092  mdet0pr  21131  m1detdiag  21136  d0mat2pmat  21276  chpmat0d  21372  fctop  21542  cmpfi  21946  bwth  21948  comppfsc  22070  ptbasid  22113  cfinfil  22431  ufinffr  22467  fin1aufil  22470  alexsubALTlem2  22586  alexsubALTlem4  22588  ptcmplem2  22591  tsmsfbas  22665  xrge0gsumle  23370  xrge0tsms  23371  fta1  24826  uhgr0edgfi  26950  fusgrfisbase  27038  vtxdg0e  27184  wwlksnfi  27612  wwlksnfiOLD  27613  clwwlknfiOLD  27752  hashxpe  30456  xrge0tsmsd  30620  esumnul  31207  esum0  31208  esumcst  31222  esumsnf  31223  esumpcvgval  31237  sibf0  31492  eulerpartlemt  31529  derang0  32314  topdifinffinlem  34511  matunitlindf  34772  0totbnd  34934  heiborlem6  34977  mzpcompact2lem  39228  rp-isfinite6  39764  0pwfi  41201  fouriercn  42398  rrxtopn0  42459  salexct  42498  sge0rnn0  42531  sge00  42539  sge0sn  42542  ovn0val  42713  ovn02  42731  hoidmv0val  42746  hoidmvle  42763  hoiqssbl  42788  von0val  42834  vonhoire  42835  vonioo  42845  vonicc  42848  vonsn  42854  lcoc0  44375  lco0  44380
  Copyright terms: Public domain W3C validator