MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fin 8430
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 7319 . 2 ∅ ∈ ω
2 ssid 3819 . 2 ∅ ⊆ ∅
3 ssnnfi 8421 . 2 ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 684 1 ∅ ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  wss 3769  c0 4115  ωcom 7299  Fincfn 8195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-om 7300  df-en 8196  df-fin 8199
This theorem is referenced by:  nfielex  8431  xpfi  8473  fnfi  8480  iunfi  8496  fczfsuppd  8535  fsuppun  8536  0fsupp  8539  r1fin  8886  acndom  9160  numwdom  9168  ackbij1lem18  9347  sdom2en01  9412  fin23lem26  9435  isfin1-3  9496  gchxpidm  9779  fzfi  13026  fzofi  13028  hasheq0  13404  hashxp  13470  lcmf0  15682  0hashbc  16044  acsfn0  16635  isdrs2  17254  fpwipodrs  17479  symgfisg  18200  mplsubg  19760  mpllss  19761  psrbag0  19816  dsmm0cl  20409  mat0dimbas0  20598  mat0dim0  20599  mat0dimid  20600  mat0dimscm  20601  mat0dimcrng  20602  mat0scmat  20670  mavmul0  20684  mavmul0g  20685  mdet0pr  20724  m1detdiag  20729  d0mat2pmat  20871  chpmat0d  20967  fctop  21137  cmpfi  21540  bwth  21542  comppfsc  21664  ptbasid  21707  cfinfil  22025  ufinffr  22061  fin1aufil  22064  alexsubALTlem2  22180  alexsubALTlem4  22182  ptcmplem2  22185  tsmsfbas  22259  xrge0gsumle  22964  xrge0tsms  22965  fta1  24404  uhgr0edgfi  26474  fusgrfisbase  26562  vtxdg0e  26724  wwlksnfi  27186  clwwlknfi  27354  xrge0tsmsd  30301  esumnul  30626  esum0  30627  esumcst  30641  esumsnf  30642  esumpcvgval  30656  sibf0  30912  eulerpartlemt  30949  derang0  31668  topdifinffinlem  33693  matunitlindf  33896  0totbnd  34059  heiborlem6  34102  mzpcompact2lem  38096  rp-isfinite6  38643  0pwfi  39982  fouriercn  41188  rrxtopn0  41252  salexct  41291  sge0rnn0  41324  sge00  41332  sge0sn  41335  ovn0val  41506  ovn02  41524  hoidmv0val  41539  hoidmvle  41556  hoiqssbl  41581  von0val  41627  vonhoire  41628  vonioo  41638  vonicc  41641  vonsn  41647  lcoc0  43006  lco0  43011
  Copyright terms: Public domain W3C validator