Theorem 0fin 9196

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fin	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7894	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		ssid 4002	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ∅
3		ssnnfi 9194	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ωcom 7870  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-om 7871  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  ssfi  9198  imafi  9200  cnvfi  9205  fnfi  9206  nneneq  9234  nfielex  9298  xpfiOLD  9343  iunfi  9365  fczfsuppd  9410  fsuppun  9411  0fsupp  9414  r1fin  9797  acndom  10075  numwdom  10083  ackbij1lem18  10261  sdom2en01  10326  fin23lem26  10349  isfin1-3  10410  gchxpidm  10693  fzfi  13970  fzofi  13972  hasheq0  14355  hashxp  14426  lcmf0  16605  0hashbc  16976  acsfn0  17640  isdrs2  18298  fpwipodrs  18532  symgfisg  19423  dsmm0cl  21674  mplsubg  21944  mpllss  21945  psrbag0  22006  mat0dimbas0  22381  mat0dim0  22382  mat0dimid  22383  mat0dimscm  22384  mat0dimcrng  22385  mat0scmat  22453  mavmul0  22467  mavmul0g  22468  mdet0pr  22507  m1detdiag  22512  d0mat2pmat  22653  chpmat0d  22749  fctop  22920  cmpfi  23325  bwth  23327  comppfsc  23449  ptbasid  23492  cfinfil  23810  ufinffr  23846  fin1aufil  23849  alexsubALTlem2  23965  alexsubALTlem4  23967  ptcmplem2  23970  tsmsfbas  24045  xrge0gsumle  24762  xrge0tsms  24763  fta1  26256  uhgr0edgfi  29066  fusgrfisbase  29154  vtxdg0e  29301  wwlksnfi  29730  mptiffisupp  32486  hashxpe  32589  xrge0tsmsd  32784  esumnul  33667  esum0  33668  esumcst  33682  esumsnf  33683  esumpcvgval  33697  sibf0  33954  eulerpartlemt  33991  derang0  34779  topdifinffinlem  36826  matunitlindf  37091  0totbnd  37246  heiborlem6  37289  mzpcompact2lem  42171  rp-isfinite6  42948  0pwfi  44423  fouriercn  45620  rrxtopn0  45681  salexct  45722  sge0rnn0  45756  sge00  45764  sge0sn  45767  ovn0val  45938  ovn02  45956  hoidmv0val  45971  hoidmvle  45988  hoiqssbl  46013  von0val  46059  vonhoire  46060  vonioo  46070  vonicc  46073  vonsn  46079  lcoc0  47490  lco0  47495