Theorem 0fin 8746

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fin	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7601	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		ssid 3989	. 2 ⊢ ∅ ⊆ ∅
3		ssnnfi 8737	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 690	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ωcom 7580  Fincfn 8509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-om 7581  df-en 8510  df-fin 8513

This theorem is referenced by:  nfielex  8747  xpfi  8789  fnfi  8796  iunfi  8812  fczfsuppd  8851  fsuppun  8852  0fsupp  8855  r1fin  9202  acndom  9477  numwdom  9485  ackbij1lem18  9659  sdom2en01  9724  fin23lem26  9747  isfin1-3  9808  gchxpidm  10091  fzfi  13341  fzofi  13343  hasheq0  13725  hashxp  13796  lcmf0  15978  0hashbc  16343  acsfn0  16931  isdrs2  17549  fpwipodrs  17774  symgfisg  18596  mplsubg  20217  mpllss  20218  psrbag0  20274  dsmm0cl  20884  mat0dimbas0  21075  mat0dim0  21076  mat0dimid  21077  mat0dimscm  21078  mat0dimcrng  21079  mat0scmat  21147  mavmul0  21161  mavmul0g  21162  mdet0pr  21201  m1detdiag  21206  d0mat2pmat  21346  chpmat0d  21442  fctop  21612  cmpfi  22016  bwth  22018  comppfsc  22140  ptbasid  22183  cfinfil  22501  ufinffr  22537  fin1aufil  22540  alexsubALTlem2  22656  alexsubALTlem4  22658  ptcmplem2  22661  tsmsfbas  22736  xrge0gsumle  23441  xrge0tsms  23442  fta1  24897  uhgr0edgfi  27022  fusgrfisbase  27110  vtxdg0e  27256  wwlksnfi  27684  wwlksnfiOLD  27685  clwwlknfiOLD  27824  hashxpe  30529  xrge0tsmsd  30692  esumnul  31307  esum0  31308  esumcst  31322  esumsnf  31323  esumpcvgval  31337  sibf0  31592  eulerpartlemt  31629  derang0  32416  topdifinffinlem  34631  matunitlindf  34905  0totbnd  35066  heiborlem6  35109  mzpcompact2lem  39368  rp-isfinite6  39904  0pwfi  41341  fouriercn  42537  rrxtopn0  42598  salexct  42637  sge0rnn0  42670  sge00  42678  sge0sn  42681  ovn0val  42852  ovn02  42870  hoidmv0val  42885  hoidmvle  42902  hoiqssbl  42927  von0val  42973  vonhoire  42974  vonioo  42984  vonicc  42987  vonsn  42993  lcoc0  44497  lco0  44502