Theorem polsubclN 39126

Description: A polarity is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polsubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubcl.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
polsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem polsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polsubcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polsubcl.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 39080	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7		hlop 38535	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
9		hlclat 38531	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
10		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 3	atssbase 38463	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
12		sstr 3990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
13	11, 12	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
14	10, 1	clatlubcl 18460	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
15	9, 13, 14	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 2	opoccl 38367	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
17	8, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18		polsubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
19	10, 4, 18	pmapsubclN 39120	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
20	17, 19	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
21	6, 20	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  occoc 17209  lubclub 18266  CLatccla 18455  OPcops 38345  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  pmapcpmap 38671  ⊥_𝑃cpolN 39076  PSubClcpscN 39108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-pmap 38678  df-polarityN 39077  df-psubclN 39109

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  39138  pexmidN  39143