Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polsubclN 35840
Description: A polarity is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubcl.p = (⊥𝑃𝐾)
polsubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
polsubclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem polsubclN
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2 eqid 2765 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 polsubcl.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2765 . . 3 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 polsubcl.p . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 35794 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7 hlop 35250 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
87adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
9 hlclat 35246 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
10 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 3atssbase 35178 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
12 sstr 3769 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1311, 12mpan2 682 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1410, 1clatlubcl 17380 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
159, 13, 14syl2an 589 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1610, 2opoccl 35082 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
178, 15, 16syl2anc 579 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18 polsubcl.c . . . 4 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
1910, 4, 18pmapsubclN 35834 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
2017, 19syldan 585 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
216, 20eqeltrd 2844 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3732  cfv 6068  Basecbs 16132  occoc 16224  lubclub 17210  CLatccla 17375  OPcops 35060  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  pmapcpmap 35385  𝑃cpolN 35790  PSubClcpscN 35822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-undef 7602  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-pmap 35392  df-polarityN 35791  df-psubclN 35823
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  35852  pexmidN  35857
  Copyright terms: Public domain W3C validator