Theorem polsubclN 40825

Description: A polarity is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polsubcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubcl.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
polsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem polsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polsubcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polsubcl.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 40779	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7		hlop 40235	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
9		hlclat 40231	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 3	atssbase 40163	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
12		sstr 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
13	11, 12	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
14	10, 1	clatlubcl 18591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
15	9, 13, 14	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 2	opoccl 40067	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18		polsubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
19	10, 4, 18	pmapsubclN 40819	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
20	17, 19	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
21	6, 20	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  occoc 17350  lubclub 18397  CLatccla 18586  OPcops 40045  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  pmapcpmap 40370  ⊥_𝑃cpolN 40775  PSubClcpscN 40807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-pmap 40377  df-polarityN 40776  df-psubclN 40808

This theorem is used by:  osumcllem9N  40837  pexmidN  40842