Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polsubclN 37126
Description: A polarity is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubcl.p = (⊥𝑃𝐾)
polsubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
polsubclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem polsubclN
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 polsubcl.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2821 . . 3 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 polsubcl.p . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 37080 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7 hlop 36536 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
87adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
9 hlclat 36532 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
10 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 3atssbase 36464 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
12 sstr 3951 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1311, 12mpan2 690 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1410, 1clatlubcl 17700 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
159, 13, 14syl2an 598 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1610, 2opoccl 36368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
178, 15, 16syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18 polsubcl.c . . . 4 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
1910, 4, 18pmapsubclN 37120 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
2017, 19syldan 594 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐶)
216, 20eqeltrd 2912 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3910  cfv 6328  Basecbs 16461  occoc 16551  lubclub 17530  CLatccla 17695  OPcops 36346  Atomscatm 36437  HLchlt 36524  pmapcpmap 36671  𝑃cpolN 37076  PSubClcpscN 37108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-riotaBAD 36127
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-undef 7914  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-pmap 36678  df-polarityN 37077  df-psubclN 37109
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  37138  pexmidN  37143
  Copyright terms: Public domain W3C validator