Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3polN 39918
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
3polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 39359 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2polss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atssbase 39291 . . . . 5 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5 sstr 3992 . . . . 5 ((𝑆𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
64, 5mpan2 691 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7 eqid 2737 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
82, 7clatlubcl 18548 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
91, 6, 8syl2an 596 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10 eqid 2737 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11 eqid 2737 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
132, 10, 11, 12polpmapN 39914 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
149, 13syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
157, 3, 11, 122polvalN 39916 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
1615fveq2d 6910 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
177, 10, 3, 11, 12polval2N 39908 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
1814, 16, 173eqtr4d 2787 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  Basecbs 17247  occoc 17305  lubclub 18355  CLatccla 18543  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  pmapcpmap 39499  𝑃cpolN 39904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-pmap 39506  df-polarityN 39905
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  39920  2pmaplubN  39928  pmapocjN  39932  poml5N  39956
  Copyright terms: Public domain W3C validator