Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3polN 39899
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
3polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 39340 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2polss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atssbase 39272 . . . . 5 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5 sstr 4004 . . . . 5 ((𝑆𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
64, 5mpan2 691 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7 eqid 2735 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
82, 7clatlubcl 18561 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
91, 6, 8syl2an 596 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10 eqid 2735 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11 eqid 2735 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
132, 10, 11, 12polpmapN 39895 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
149, 13syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
157, 3, 11, 122polvalN 39897 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
1615fveq2d 6911 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
177, 10, 3, 11, 12polval2N 39889 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
1814, 16, 173eqtr4d 2785 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cfv 6563  Basecbs 17245  occoc 17306  lubclub 18367  CLatccla 18556  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  𝑃cpolN 39885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487  df-polarityN 39886
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  39901  2pmaplubN  39909  pmapocjN  39913  poml5N  39937
  Copyright terms: Public domain W3C validator