Theorem 3polN 39290

Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3polN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem 3polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 38731	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2polss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atssbase 38663	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5		sstr 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
6	4, 5	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	2, 7	clatlubcl 18464	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9	1, 6, 8	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
13	2, 10, 11, 12	polpmapN 39286	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
14	9, 13	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
15	7, 3, 11, 12	2polvalN 39288	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
16	15	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
17	7, 10, 3, 11, 12	polval2N 39280	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6534  Basecbs 17149  occoc 17210  lubclub 18270  CLatccla 18459  Atomscatm 38636  HLchlt 38723  pmapcpmap 38871  ⊥_𝑃cpolN 39276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-pmap 38878  df-polarityN 39277

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  39292  2pmaplubN  39300  pmapocjN  39304  poml5N  39328