Theorem 3polN 40614

Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3polN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem 3polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 40056	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2polss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atssbase 39988	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5		sstr 3953	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
6	4, 5	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	2, 7	clatlubcl 18559	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9	1, 6, 8	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
13	2, 10, 11, 12	polpmapN 40610	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
14	9, 13	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
15	7, 3, 11, 12	2polvalN 40612	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
16	15	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
17	7, 10, 3, 11, 12	polval2N 40604	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  occoc 17318  lubclub 18365  CLatccla 18554  Atomscatm 39961  HLchlt 40048  pmapcpmap 40195  ⊥_𝑃cpolN 40600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39874  df-ol 39876  df-oml 39877  df-covers 39964  df-ats 39965  df-atl 39996  df-cvlat 40020  df-hlat 40049  df-pmap 40202  df-polarityN 40601

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  40616  2pmaplubN  40624  pmapocjN  40628  poml5N  40652