Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3polN 39389
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2polss.p βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†))) = ( βŠ₯ β€˜π‘†))

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 38830 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
2 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 2polss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3atssbase 38762 . . . . 5 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
5 sstr 3988 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
64, 5mpan2 690 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝐴 β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2728 . . . . 5 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
82, 7clatlubcl 18494 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
91, 6, 8syl2an 595 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 eqid 2728 . . . 4 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
11 eqid 2728 . . . 4 (pmapβ€˜πΎ) = (pmapβ€˜πΎ)
12 2polss.p . . . 4 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
132, 10, 11, 12polpmapN 39385 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))))
149, 13syldan 590 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))))
157, 3, 11, 122polvalN 39387 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†)) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†)))
1615fveq2d 6901 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†))) = ( βŠ₯ β€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))))
177, 10, 3, 11, 12polval2N 39379 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘†) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘†))))
1814, 16, 173eqtr4d 2778 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘†))) = ( βŠ₯ β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6548  Basecbs 17179  occoc 17240  lubclub 18300  CLatccla 18489  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  pmapcpmap 38970  βŠ₯𝑃cpolN 39375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-pmap 38977  df-polarityN 39376
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  39391  2pmaplubN  39399  pmapocjN  39403  poml5N  39427
  Copyright terms: Public domain W3C validator