Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3polN 37084
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
3polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 36526 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2polss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atssbase 36458 . . . . 5 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5 sstr 3950 . . . . 5 ((𝑆𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
64, 5mpan2 689 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7 eqid 2820 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
82, 7clatlubcl 17697 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
91, 6, 8syl2an 597 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10 eqid 2820 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11 eqid 2820 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
132, 10, 11, 12polpmapN 37080 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
149, 13syldan 593 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
157, 3, 11, 122polvalN 37082 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
1615fveq2d 6646 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
177, 10, 3, 11, 12polval2N 37074 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
1814, 16, 173eqtr4d 2865 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3909  cfv 6327  Basecbs 16458  occoc 16548  lubclub 17527  CLatccla 17692  Atomscatm 36431  HLchlt 36518  pmapcpmap 36665  𝑃cpolN 37070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-riotaBAD 36121
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-undef 7913  df-proset 17513  df-poset 17531  df-plt 17543  df-lub 17559  df-glb 17560  df-join 17561  df-meet 17562  df-p0 17624  df-p1 17625  df-lat 17631  df-clat 17693  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490  df-hlat 36519  df-pmap 36672  df-polarityN 37071
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  37086  2pmaplubN  37094  pmapocjN  37098  poml5N  37122
  Copyright terms: Public domain W3C validator