Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3polN 35690
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
3polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 35132 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2 eqid 2802 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2polss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atssbase 35064 . . . . 5 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5 sstr 3800 . . . . 5 ((𝑆𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
64, 5mpan2 674 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7 eqid 2802 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
82, 7clatlubcl 17311 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
91, 6, 8syl2an 585 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10 eqid 2802 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11 eqid 2802 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
132, 10, 11, 12polpmapN 35686 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
149, 13syldan 581 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
157, 3, 11, 122polvalN 35688 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
1615fveq2d 6406 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
177, 10, 3, 11, 12polval2N 35680 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
1814, 16, 173eqtr4d 2846 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑆))) = ( 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  wss 3763  cfv 6095  Basecbs 16062  occoc 16155  lubclub 17141  CLatccla 17306  Atomscatm 35037  HLchlt 35124  pmapcpmap 35271  𝑃cpolN 35676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-riotaBAD 34726
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-undef 7628  df-proset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-oposet 34950  df-ol 34952  df-oml 34953  df-covers 35040  df-ats 35041  df-atl 35072  df-cvlat 35096  df-hlat 35125  df-pmap 35278  df-polarityN 35677
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  35692  2pmaplubN  35700  pmapocjN  35704  poml5N  35728
  Copyright terms: Public domain W3C validator