Theorem 3polN 38775

Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3polN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem 3polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 38216	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2polss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atssbase 38148	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5		sstr 3989	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
6	4, 5	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	2, 7	clatlubcl 18452	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9	1, 6, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
13	2, 10, 11, 12	polpmapN 38771	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
14	9, 13	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
15	7, 3, 11, 12	2polvalN 38773	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
16	15	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
17	7, 10, 3, 11, 12	polval2N 38765	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  occoc 17201  lubclub 18258  CLatccla 18447  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  pmapcpmap 38356  ⊥_𝑃cpolN 38761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-pmap 38363  df-polarityN 38762

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  38777  2pmaplubN  38785  pmapocjN  38789  poml5N  38813