Theorem 3polN 38235

Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3polN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem 3polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 37676	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		2polss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atssbase 37608	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
5		sstr 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
6	4, 5	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	2, 7	clatlubcl 18319	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
9	1, 6, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
13	2, 10, 11, 12	polpmapN 38231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
14	9, 13	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
15	7, 3, 11, 12	2polvalN 38233	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
16	15	fveq2d 6830	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
17	7, 10, 3, 11, 12	polval2N 38225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6480  Basecbs 17010  occoc 17068  lubclub 18125  CLatccla 18314  Atomscatm 37581  HLchlt 37668  pmapcpmap 37816  ⊥_𝑃cpolN 38221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-join 18164  df-meet 18165  df-p0 18241  df-p1 18242  df-lat 18248  df-clat 18315  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-pmap 37823  df-polarityN 38222

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  38237  2pmaplubN  38245  pmapocjN  38249  poml5N  38273