Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pmaplubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pmaplubN 35708
Description: Double projective map of an LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmaplub.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2pmaplubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))

Proof of Theorem 2pmaplubN
StepHypRef Expression
1 sspmaplub.u . . . . . . 7 𝑈 = (lub‘𝐾)
2 sspmaplub.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 sspmaplub.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 eqid 2813 . . . . . . 7 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 42polvalN 35696 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))
65fveq2d 6415 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆))) = ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆))))
76fveq2d 6415 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
82, 4polssatN 35690 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴)
92, 43polN 35698 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
108, 9syldan 581 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
117, 10eqtr3d 2849 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
12 hlclat 35140 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
13 eqid 2813 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 2atssbase 35072 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
15 sstr 3813 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
1614, 15mpan2 674 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
1713, 1clatlubcl 17320 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1812, 16, 17syl2an 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2, 3pmapssat 35541 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴)
2018, 19syldan 581 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴)
211, 2, 3, 42polvalN 35696 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2220, 21syldan 581 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2311, 22eqtr3d 2849 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2423, 5eqtr3d 2849 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wss 3776  cfv 6104  Basecbs 16071  lubclub 17150  CLatccla 17315  Atomscatm 35045  HLchlt 35132  pmapcpmap 35279  𝑃cpolN 35684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-riotaBAD 34734
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-undef 7637  df-proset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133  df-psubsp 35285  df-pmap 35286  df-polarityN 35685
This theorem is referenced by:  paddunN  35709
  Copyright terms: Public domain W3C validator