Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pmaplubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pmaplubN 37713
Description: Double projective map of an LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmaplub.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2pmaplubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))

Proof of Theorem 2pmaplubN
StepHypRef Expression
1 sspmaplub.u . . . . . . 7 𝑈 = (lub‘𝐾)
2 sspmaplub.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 sspmaplub.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 eqid 2739 . . . . . . 7 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 42polvalN 37701 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))
65fveq2d 6742 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆))) = ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆))))
76fveq2d 6742 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
82, 4polssatN 37695 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴)
92, 43polN 37703 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
108, 9syldan 594 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
117, 10eqtr3d 2781 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
12 hlclat 37145 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
13 eqid 2739 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 2atssbase 37077 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
15 sstr 3925 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
1614, 15mpan2 691 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
1713, 1clatlubcl 18041 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1812, 16, 17syl2an 599 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2, 3pmapssat 37546 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴)
2018, 19syldan 594 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴)
211, 2, 3, 42polvalN 37701 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2220, 21syldan 594 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2311, 22eqtr3d 2781 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2423, 5eqtr3d 2781 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wss 3883  cfv 6400  Basecbs 16792  lubclub 17848  CLatccla 18036  Atomscatm 37050  HLchlt 37137  pmapcpmap 37284  𝑃cpolN 37689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-riotaBAD 36740
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-iin 4923  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-id 5471  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-undef 8038  df-proset 17834  df-poset 17852  df-plt 17868  df-lub 17884  df-glb 17885  df-join 17886  df-meet 17887  df-p0 17963  df-p1 17964  df-lat 17970  df-clat 18037  df-oposet 36963  df-ol 36965  df-oml 36966  df-covers 37053  df-ats 37054  df-atl 37085  df-cvlat 37109  df-hlat 37138  df-psubsp 37290  df-pmap 37291  df-polarityN 37690
This theorem is referenced by:  paddunN  37714
  Copyright terms: Public domain W3C validator