Theorem 2pmaplubN 39920

Description: Double projective map of an LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Proof of Theorem 2pmaplubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspmaplub.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		sspmaplub.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		sspmaplub.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	2polvalN 39908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))
6	5	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆))))
7	6	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
8	2, 4	polssatN 39902	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴)
9	2, 4	3polN 39910	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
10	8, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
11	7, 10	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
12		hlclat 39351	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
13		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 2	atssbase 39283	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
15		sstr 3955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
16	14, 15	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
17	13, 1	clatlubcl 18462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 16, 17	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2, 3	pmapssat 39753	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
21	1, 2, 3, 4	2polvalN 39908	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
22	20, 21	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
23	11, 22	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
24	23, 5	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lubclub 18270  CLatccla 18457  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  pmapcpmap 39491  ⊥_𝑃cpolN 39896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-polarityN 39897

This theorem is referenced by:  paddunN  39921