Theorem 2pmaplubN 40488

Description: Double projective map of an LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Proof of Theorem 2pmaplubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspmaplub.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		sspmaplub.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		sspmaplub.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	2polvalN 40476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))
6	5	fveq2d 6856	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆))))
7	6	fveq2d 6856	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
8	2, 4	polssatN 40470	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴)
9	2, 4	3polN 40478	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
10	8, 9	syldan 599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
11	7, 10	eqtr3d 2789	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
12		hlclat 39920	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
13		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 2	atssbase 39852	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
15		sstr 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
16	14, 15	mpan2 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
17	13, 1	clatlubcl 18507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 16, 17	syl2an 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2, 3	pmapssat 40321	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syldan 599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
21	1, 2, 3, 4	2polvalN 40476	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
22	20, 21	syldan 599	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
23	11, 22	eqtr3d 2789	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
24	23, 5	eqtr3d 2789	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  lubclub 18313  CLatccla 18502  Atomscatm 39825  HLchlt 39912  pmapcpmap 40059  ⊥_𝑃cpolN 40464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-proset 18298  df-poset 18317  df-plt 18332  df-lub 18348  df-glb 18349  df-join 18350  df-meet 18351  df-p0 18427  df-p1 18428  df-lat 18436  df-clat 18503  df-oposet 39738  df-ol 39740  df-oml 39741  df-covers 39828  df-ats 39829  df-atl 39860  df-cvlat 39884  df-hlat 39913  df-psubsp 40065  df-pmap 40066  df-polarityN 40465

This theorem is referenced by:  paddunN  40489