Theorem 2pmaplubN 37867

Description: Double projective map of an LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Proof of Theorem 2pmaplubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspmaplub.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		sspmaplub.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		sspmaplub.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	2polvalN 37855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))
6	5	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆))))
7	6	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
8	2, 4	polssatN 37849	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴)
9	2, 4	3polN 37857	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
10	8, 9	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
11	7, 10	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
12		hlclat 37299	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
13		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 2	atssbase 37231	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
15		sstr 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
16	14, 15	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
17	13, 1	clatlubcl 18136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 16, 17	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2, 3	pmapssat 37700	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
21	1, 2, 3, 4	2polvalN 37855	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
22	20, 21	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
23	11, 22	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
24	23, 5	eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lubclub 17942  CLatccla 18131  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  pmapcpmap 37438  ⊥_𝑃cpolN 37843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-undef 8060  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-polarityN 37844

This theorem is referenced by:  paddunN  37868