Theorem 2pmaplubN 39944

Description: Double projective map of an LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Proof of Theorem 2pmaplubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspmaplub.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		sspmaplub.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		sspmaplub.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	2polvalN 39932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))
6	5	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆))))
7	6	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
8	2, 4	polssatN 39926	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴)
9	2, 4	3polN 39934	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
10	8, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
11	7, 10	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
12		hlclat 39376	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
13		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 2	atssbase 39308	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
15		sstr 3941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
16	14, 15	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
17	13, 1	clatlubcl 18401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 16, 17	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 2, 3	pmapssat 39777	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴)
21	1, 2, 3, 4	2polvalN 39932	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘(𝑈‘𝑆)) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
22	20, 21	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
23	11, 22	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))))
24	23, 5	eqtr3d 2767	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈‘𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  lubclub 18207  CLatccla 18396  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  pmapcpmap 39515  ⊥_𝑃cpolN 39920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-psubsp 39521  df-pmap 39522  df-polarityN 39921

This theorem is referenced by:  paddunN  39945