Theorem pnonsingN 39317

Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pnonsingN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 39299	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃‘𝑋)))
4	3	ssrind 4230	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)))
5		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
7	5, 1, 6, 2	2polvalN 39298	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	5, 8, 1, 6, 2	polval2N 39290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
10	7, 9	ineq12d 4208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11		hlop 38745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		hlclat 38741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 1	atssbase 38673	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16		sstr 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
17	15, 16	mpan2 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
18	14, 5	clatlubcl 18468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 17, 18	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
22	14, 8, 20, 21	opnoncon 38591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
23	12, 19, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
24	23	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
26	14, 8	opoccl 38577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	12, 19, 26	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	14, 20, 1, 6	pmapmeet 39157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
29	25, 19, 27, 28	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30		hlatl 38743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32	21, 6	pmap0 39149	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	24, 29, 33	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
35	10, 34	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
36	4, 35	sseqtrd 4017	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅)
37		ss0b 4392	. 2 ⊢ ((𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
38	36, 37	sylib 217	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  occoc 17214  lubclub 18274  meetcmee 18277  0.cp0 18388  CLatccla 18463  OPcops 38555  Atomscatm 38646  AtLatcal 38647  HLchlt 38733  pmapcpmap 38881  ⊥_𝑃cpolN 39286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-pmap 38888  df-polarityN 39287

This theorem is referenced by:  osumcllem4N  39343  pexmidN  39353  pexmidlem1N  39354