Theorem pnonsingN 40313

Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pnonsingN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 40295	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃‘𝑋)))
4	3	ssrind 4198	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)))
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
7	5, 1, 6, 2	2polvalN 40294	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	5, 8, 1, 6, 2	polval2N 40286	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
10	7, 9	ineq12d 4175	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11		hlop 39742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		hlclat 39738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 1	atssbase 39670	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16		sstr 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
17	15, 16	mpan2 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
18	14, 5	clatlubcl 18438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 17, 18	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
22	14, 8, 20, 21	opnoncon 39588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
23	12, 19, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
24	23	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
26	14, 8	opoccl 39574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	12, 19, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	14, 20, 1, 6	pmapmeet 40153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
29	25, 19, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30		hlatl 39740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32	21, 6	pmap0 40145	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	24, 29, 33	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
35	10, 34	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
36	4, 35	sseqtrd 3972	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅)
37		ss0b 4355	. 2 ⊢ ((𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
38	36, 37	sylib 218	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  occoc 17197  lubclub 18244  meetcmee 18247  0.cp0 18356  CLatccla 18433  OPcops 39552  Atomscatm 39643  AtLatcal 39644  HLchlt 39730  pmapcpmap 39877  ⊥_𝑃cpolN 40282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39556  df-ol 39558  df-oml 39559  df-covers 39646  df-ats 39647  df-atl 39678  df-cvlat 39702  df-hlat 39731  df-pmap 39884  df-polarityN 40283

This theorem is referenced by:  osumcllem4N  40339  pexmidN  40349  pexmidlem1N  40350