Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnonsingN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnonsingN 39916
Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pnonsingN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN
StepHypRef Expression
1 2polat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 2polat.p . . . . 5 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
31, 22polssN 39898 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃𝑋)))
43ssrind 4252 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)))
5 eqid 2735 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
75, 1, 6, 22polvalN 39897 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃‘(𝑃𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8 eqid 2735 . . . . . 6 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
95, 8, 1, 6, 2polval2N 39889 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
107, 9ineq12d 4229 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11 hlop 39344 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 hlclat 39340 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1514, 1atssbase 39272 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16 sstr 4004 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1715, 16mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1814, 5clatlubcl 18561 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 17, 18syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2735 . . . . . . . 8 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2214, 8, 20, 21opnoncon 39190 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
2312, 19, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
2423fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2614, 8opoccl 39176 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2712, 19, 26syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2814, 20, 1, 6pmapmeet 39756 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
2925, 19, 27, 28syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30 hlatl 39342 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
3221, 6pmap0 39748 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3424, 29, 333eqtr3d 2783 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
3510, 34eqtrd 2775 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
364, 35sseqtrd 4036 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ∅)
37 ss0b 4407 . 2 ((𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
3836, 37sylib 218 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  occoc 17306  lubclub 18367  meetcmee 18370  0.cp0 18481  CLatccla 18556  OPcops 39154  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  𝑃cpolN 39885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487  df-polarityN 39886
This theorem is referenced by:  osumcllem4N  39942  pexmidN  39952  pexmidlem1N  39953
  Copyright terms: Public domain W3C validator