Theorem pnonsingN 40791

Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pnonsingN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 40773	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃‘𝑋)))
4	3	ssrind 4192	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)))
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
7	5, 1, 6, 2	2polvalN 40772	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	5, 8, 1, 6, 2	polval2N 40764	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
10	7, 9	ineq12d 4170	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11		hlop 40220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		hlclat 40216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 1	atssbase 40148	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16		sstr 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
17	15, 16	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
18	14, 5	clatlubcl 18593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 17, 18	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
22	14, 8, 20, 21	opnoncon 40066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
23	12, 19, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
24	23	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
26	14, 8	opoccl 40052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	12, 19, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	14, 20, 1, 6	pmapmeet 40631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
29	25, 19, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30		hlatl 40218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32	21, 6	pmap0 40623	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
33	31, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	24, 29, 33	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
35	10, 34	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
36	4, 35	sseqtrd 3970	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅)
37		ss0b 4354	. 2 ⊢ ((𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
38	36, 37	sylib 221	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  occoc 17352  lubclub 18399  meetcmee 18402  0.cp0 18511  CLatccla 18588  OPcops 40030  Atomscatm 40121  AtLatcal 40122  HLchlt 40208  pmapcpmap 40355  ⊥_𝑃cpolN 40760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-pmap 40362  df-polarityN 40761

This theorem is used by:  osumcllem4N  40817  pexmidN  40827  pexmidlem1N  40828