Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnonsingN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnonsingN 37222
 Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pnonsingN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN
StepHypRef Expression
1 2polat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 2polat.p . . . . 5 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
31, 22polssN 37204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃𝑋)))
43ssrind 4165 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)))
5 eqid 2801 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6 eqid 2801 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
75, 1, 6, 22polvalN 37203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃‘(𝑃𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8 eqid 2801 . . . . . 6 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
95, 8, 1, 6, 2polval2N 37195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
107, 9ineq12d 4143 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11 hlop 36651 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 hlclat 36647 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1514, 1atssbase 36579 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16 sstr 3926 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1715, 16mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1814, 5clatlubcl 17717 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 17, 18syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2801 . . . . . . . 8 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21 eqid 2801 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2214, 8, 20, 21opnoncon 36497 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
2312, 19, 22syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
2423fveq2d 6653 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2614, 8opoccl 36483 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2712, 19, 26syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2814, 20, 1, 6pmapmeet 37062 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
2925, 19, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30 hlatl 36649 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3130adantr 484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
3221, 6pmap0 37054 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3424, 29, 333eqtr3d 2844 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
3510, 34eqtrd 2836 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
364, 35sseqtrd 3958 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ∅)
37 ss0b 4308 . 2 ((𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
3836, 37sylib 221 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  occoc 16568  lubclub 17547  meetcmee 17550  0.cp0 17642  CLatccla 17712  OPcops 36461  Atomscatm 36552  AtLatcal 36553  HLchlt 36639  pmapcpmap 36786  ⊥𝑃cpolN 37191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36242 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-undef 7926  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-pmap 36793  df-polarityN 37192 This theorem is referenced by:  osumcllem4N  37248  pexmidN  37258  pexmidlem1N  37259
 Copyright terms: Public domain W3C validator