Theorem pnonsingN 38396

Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pnonsingN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 38378	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃‘𝑋)))
4	3	ssrind 4195	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)))
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
7	5, 1, 6, 2	2polvalN 38377	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	5, 8, 1, 6, 2	polval2N 38369	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
10	7, 9	ineq12d 4173	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11		hlop 37824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		hlclat 37820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 1	atssbase 37752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16		sstr 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
17	15, 16	mpan2 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
18	14, 5	clatlubcl 18392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 17, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
22	14, 8, 20, 21	opnoncon 37670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
23	12, 19, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
24	23	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
26	14, 8	opoccl 37656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	12, 19, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	14, 20, 1, 6	pmapmeet 38236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
29	25, 19, 27, 28	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30		hlatl 37822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32	21, 6	pmap0 38228	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	24, 29, 33	3eqtr3d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
35	10, 34	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
36	4, 35	sseqtrd 3984	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅)
37		ss0b 4357	. 2 ⊢ ((𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
38	36, 37	sylib 217	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  occoc 17141  lubclub 18198  meetcmee 18201  0.cp0 18312  CLatccla 18387  OPcops 37634  Atomscatm 37725  AtLatcal 37726  HLchlt 37812  pmapcpmap 37960  ⊥_𝑃cpolN 38365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-pmap 37967  df-polarityN 38366

This theorem is referenced by:  osumcllem4N  38422  pexmidN  38432  pexmidlem1N  38433