Theorem pnonsingN 39920

Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pnonsingN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 39902	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃‘𝑋)))
4	3	ssrind 4203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)))
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
7	5, 1, 6, 2	2polvalN 39901	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	5, 8, 1, 6, 2	polval2N 39893	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑃‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
10	7, 9	ineq12d 4180	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11		hlop 39348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13		hlclat 39344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 1	atssbase 39276	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16		sstr 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
17	15, 16	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
18	14, 5	clatlubcl 18444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
19	13, 17, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
22	14, 8, 20, 21	opnoncon 39194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
23	12, 19, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
24	23	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
26	14, 8	opoccl 39180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	12, 19, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	14, 20, 1, 6	pmapmeet 39760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
29	25, 19, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30		hlatl 39346	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32	21, 6	pmap0 39752	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	24, 29, 33	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
35	10, 34	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑃‘(𝑃‘𝑋)) ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
36	4, 35	sseqtrd 3980	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅)
37		ss0b 4360	. 2 ⊢ ((𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)
38	36, 37	sylib 218	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃‘𝑋)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  occoc 17204  lubclub 18250  meetcmee 18253  0.cp0 18362  CLatccla 18439  OPcops 39158  Atomscatm 39249  AtLatcal 39250  HLchlt 39336  pmapcpmap 39484  ⊥_𝑃cpolN 39889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-pmap 39491  df-polarityN 39890

This theorem is referenced by:  osumcllem4N  39946  pexmidN  39956  pexmidlem1N  39957