Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poldmj1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poldmj1N 35735
Description: De Morgan's law for polarity of projective sum. (oldmj1 35028 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p + = (+𝑃𝐾)
paddun.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poldmj1N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))

Proof of Theorem poldmj1N
StepHypRef Expression
1 paddun.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 paddun.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
3 paddun.o . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
41, 2, 3paddunN 35734 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))
5 simp1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
6 unss 3938 . . . . 5 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
76biimpi 206 . . . 4 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
873adant1 1124 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
9 eqid 2771 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10 eqid 2771 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11 eqid 2771 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
129, 10, 1, 11, 3polval2N 35713 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
135, 8, 12syl2anc 573 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
14 hlop 35169 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15143ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
16 hlclat 35165 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
17163ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
18 simp2 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆𝐴)
19 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 1atssbase 35097 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
2118, 20syl6ss 3764 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
2219, 9clatlubcl 17320 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
2317, 21, 22syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
2419, 10opoccl 35001 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 573 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
26 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇𝐴)
2726, 20syl6ss 3764 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
2819, 9clatlubcl 17320 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
2917, 27, 28syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
3019, 10opoccl 35001 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
3115, 29, 30syl2anc 573 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
32 eqid 2771 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
3319, 32, 1, 11pmapmeet 35580 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
345, 25, 31, 33syl3anc 1476 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
35 eqid 2771 . . . . . . . 8 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3619, 35, 9lubun 17331 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
3717, 21, 27, 36syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
3837fveq2d 6337 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
39 hlol 35168 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40393ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
4119, 35, 32, 10oldmj1 35028 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4240, 23, 29, 41syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4338, 42eqtrd 2805 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4443fveq2d 6337 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
459, 10, 1, 11, 3polval2N 35713 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
46453adant3 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
479, 10, 1, 11, 3polval2N 35713 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( 𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
48473adant2 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4946, 48ineq12d 3966 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
5034, 44, 493eqtr4d 2815 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))
514, 13, 503eqtrd 2809 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  cin 3722  wss 3723  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  occoc 16157  lubclub 17150  joincjn 17152  meetcmee 17153  CLatccla 17315  OPcops 34979  OLcol 34981  Atomscatm 35070  HLchlt 35157  pmapcpmap 35304  +𝑃cpadd 35602  𝑃cpolN 35709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34759
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-undef 7555  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-polarityN 35710
This theorem is referenced by:  pmapj2N  35736  osumcllem3N  35765  pexmidN  35776
  Copyright terms: Public domain W3C validator