Theorem poldmj1N 40420

Description: De Morgan's law for polarity of projective sum. (oldmj1 39713 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddun.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
paddun.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
poldmj1N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)))

Proof of Theorem poldmj1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddun.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		paddun.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
3		paddun.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	1, 2, 3	paddunN 40419	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ⊥ ‘(𝑆 ∪ 𝑇)))
5		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
6		unss 4119	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴)
7	6	biimpi 217	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴)
8	7	3adant1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12	9, 10, 1, 11, 3	polval2N 40398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))))
13	5, 8, 12	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))))
14		hlop 39854	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15	14	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
16		hlclat 39850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
17	16	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
18		simp2 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
19		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 1	atssbase 39782	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
21	18, 20	sstrdi 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
22	19, 9	clatlubcl 18460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23	17, 21, 22	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
24	19, 10	opoccl 39686	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
25	15, 23, 24	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
26		simp3 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑇 ⊆ 𝐴)
27	26, 20	sstrdi 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
28	19, 9	clatlubcl 18460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
29	17, 27, 28	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
30	19, 10	opoccl 39686	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
31	15, 29, 30	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
32		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
33	19, 32, 1, 11	pmapmeet 40265	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
34	5, 25, 31, 33	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
35		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
36	19, 35, 9	lubun 18472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
37	17, 21, 27, 36	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
38	37	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇))) = ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
39		hlol 39853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	39	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
41	19, 35, 32, 10	oldmj1 39713	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
42	40, 23, 29, 41	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
43	38, 42	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
44	43	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
45	9, 10, 1, 11, 3	polval2N 40398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
46	45	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
47	9, 10, 1, 11, 3	polval2N 40398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
48	47	3adant2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
49	46, 48	ineq12d 4150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
50	34, 44, 49	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))) = (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)))
51	4, 13, 50	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  occoc 17219  lubclub 18266  joincjn 18268  meetcmee 18269  CLatccla 18455  OPcops 39664  OLcol 39666  Atomscatm 39755  HLchlt 39842  pmapcpmap 39989  +_𝑃cpadd 40287  ⊥_𝑃cpolN 40394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-psubsp 39995  df-pmap 39996  df-padd 40288  df-polarityN 40395

This theorem is referenced by:  pmapj2N  40421  osumcllem3N  40450  pexmidN  40461