Theorem poldmj1N 40304

Description: De Morgan's law for polarity of projective sum. (oldmj1 39597 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddun.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
paddun.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
poldmj1N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)))

Proof of Theorem poldmj1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddun.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		paddun.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
3		paddun.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	1, 2, 3	paddunN 40303	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ⊥ ‘(𝑆 ∪ 𝑇)))
5		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
6		unss 4144	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴)
7	6	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴)
8	7	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
12	9, 10, 1, 11, 3	polval2N 40282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))))
13	5, 8, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))))
14		hlop 39738	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
16		hlclat 39734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
18		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 1	atssbase 39666	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
21	18, 20	sstrdi 3948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
22	19, 9	clatlubcl 18438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23	17, 21, 22	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
24	19, 10	opoccl 39570	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
25	15, 23, 24	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
26		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑇 ⊆ 𝐴)
27	26, 20	sstrdi 3948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
28	19, 9	clatlubcl 18438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
29	17, 27, 28	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
30	19, 10	opoccl 39570	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
31	15, 29, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
32		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
33	19, 32, 1, 11	pmapmeet 40149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
34	5, 25, 31, 33	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
35		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
36	19, 35, 9	lubun 18450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
37	17, 21, 27, 36	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
38	37	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇))) = ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
39		hlol 39737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	39	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
41	19, 35, 32, 10	oldmj1 39597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
42	40, 23, 29, 41	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
43	38, 42	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
44	43	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
45	9, 10, 1, 11, 3	polval2N 40282	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
46	45	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
47	9, 10, 1, 11, 3	polval2N 40282	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
48	47	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
49	46, 48	ineq12d 4175	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
50	34, 44, 49	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 ∪ 𝑇)))) = (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)))
51	4, 13, 50	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( ⊥ ‘𝑆) ∩ ( ⊥ ‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  occoc 17197  lubclub 18244  joincjn 18246  meetcmee 18247  CLatccla 18433  OPcops 39548  OLcol 39550  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  pmapcpmap 39873  +_𝑃cpadd 40171  ⊥_𝑃cpolN 40278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-polarityN 40279

This theorem is referenced by:  pmapj2N  40305  osumcllem3N  40334  pexmidN  40345