Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poldmj1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poldmj1N 36944
Description: De Morgan's law for polarity of projective sum. (oldmj1 36237 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p + = (+𝑃𝐾)
paddun.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poldmj1N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))

Proof of Theorem poldmj1N
StepHypRef Expression
1 paddun.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 paddun.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
3 paddun.o . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
41, 2, 3paddunN 36943 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))
5 simp1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
6 unss 4157 . . . . 5 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
76biimpi 217 . . . 4 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
873adant1 1122 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
9 eqid 2818 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10 eqid 2818 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11 eqid 2818 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
129, 10, 1, 11, 3polval2N 36922 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
135, 8, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
14 hlop 36378 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15143ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
16 hlclat 36374 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
17163ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
18 simp2 1129 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆𝐴)
19 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 1atssbase 36306 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
2118, 20sstrdi 3976 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
2219, 9clatlubcl 17710 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
2317, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
2419, 10opoccl 36210 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
26 simp3 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇𝐴)
2726, 20sstrdi 3976 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
2819, 9clatlubcl 17710 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
2917, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
3019, 10opoccl 36210 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
3115, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
32 eqid 2818 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
3319, 32, 1, 11pmapmeet 36789 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
345, 25, 31, 33syl3anc 1363 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
35 eqid 2818 . . . . . . . 8 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3619, 35, 9lubun 17721 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
3717, 21, 27, 36syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
3837fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
39 hlol 36377 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40393ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
4119, 35, 32, 10oldmj1 36237 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4240, 23, 29, 41syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4338, 42eqtrd 2853 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4443fveq2d 6667 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
459, 10, 1, 11, 3polval2N 36922 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
46453adant3 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
479, 10, 1, 11, 3polval2N 36922 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( 𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
48473adant2 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4946, 48ineq12d 4187 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
5034, 44, 493eqtr4d 2863 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))
514, 13, 503eqtrd 2857 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cun 3931  cin 3932  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  occoc 16561  lubclub 17540  joincjn 17542  meetcmee 17543  CLatccla 17705  OPcops 36188  OLcol 36190  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513  +𝑃cpadd 36811  𝑃cpolN 36918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-polarityN 36919
This theorem is referenced by:  pmapj2N  36945  osumcllem3N  36974  pexmidN  36985
  Copyright terms: Public domain W3C validator