Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poldmj1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poldmj1N 39931
Description: De Morgan's law for polarity of projective sum. (oldmj1 39223 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p + = (+𝑃𝐾)
paddun.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poldmj1N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))

Proof of Theorem poldmj1N
StepHypRef Expression
1 paddun.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 paddun.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
3 paddun.o . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
41, 2, 3paddunN 39930 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))
5 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
6 unss 4189 . . . . 5 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
76biimpi 216 . . . 4 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
873adant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
9 eqid 2736 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10 eqid 2736 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11 eqid 2736 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
129, 10, 1, 11, 3polval2N 39909 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
135, 8, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
14 hlop 39364 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15143ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
16 hlclat 39360 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
17163ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
18 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆𝐴)
19 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 1atssbase 39292 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
2118, 20sstrdi 3995 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
2219, 9clatlubcl 18549 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
2317, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
2419, 10opoccl 39196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
26 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇𝐴)
2726, 20sstrdi 3995 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
2819, 9clatlubcl 18549 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
2917, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
3019, 10opoccl 39196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
3115, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
32 eqid 2736 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
3319, 32, 1, 11pmapmeet 39776 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
345, 25, 31, 33syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
35 eqid 2736 . . . . . . . 8 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3619, 35, 9lubun 18561 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
3717, 21, 27, 36syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
3837fveq2d 6909 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
39 hlol 39363 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40393ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
4119, 35, 32, 10oldmj1 39223 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4240, 23, 29, 41syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4338, 42eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4443fveq2d 6909 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
459, 10, 1, 11, 3polval2N 39909 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
46453adant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑆) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))))
479, 10, 1, 11, 3polval2N 39909 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( 𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
48473adant2 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑇) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4946, 48ineq12d 4220 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))))
5034, 44, 493eqtr4d 2786 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))
514, 13, 503eqtrd 2780 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = (( 𝑆) ∩ ( 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  cin 3949  wss 3950  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  occoc 17306  lubclub 18356  joincjn 18358  meetcmee 18359  CLatccla 18544  OPcops 39174  OLcol 39176  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  pmapcpmap 39500  +𝑃cpadd 39798  𝑃cpolN 39905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-polarityN 39906
This theorem is referenced by:  pmapj2N  39932  osumcllem3N  39961  pexmidN  39972
  Copyright terms: Public domain W3C validator