Theorem polsubN 38766

Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polsubsp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polsubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polsubsp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polsubsp.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 38765	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7		hllat 38221	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9		hlop 38220	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11		hlclat 38216	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	atssbase 38148	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14		sstr 3989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	13, 14	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
16	12, 1	clatlubcl 18452	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 15, 16	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 2	opoccl 38052	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	10, 17, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20		polsubsp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
21	12, 20, 4	pmapsub 38627	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
22	8, 19, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
23	6, 22	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  occoc 17201  lubclub 18258  Latclat 18380  CLatccla 18447  OPcops 38030  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  PSubSpcpsubsp 38355  pmapcpmap 38356  ⊥_𝑃cpolN 38761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-polarityN 38762

This theorem is referenced by:  polssatN  38767  pclss2polN  38780  psubclsubN  38799  osumcllem1N  38815