Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polsubN 39606
Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubsp.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polsubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2 eqid 2726 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 polsubsp.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2726 . . 3 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 polsubsp.p . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 39605 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7 hllat 39061 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
87adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9 hlop 39060 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
109adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11 hlclat 39056 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 3atssbase 38988 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14 sstr 3988 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1513, 14mpan2 689 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1612, 1clatlubcl 18528 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1711, 15, 16syl2an 594 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1812, 2opoccl 38892 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
1910, 17, 18syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20 polsubsp.s . . . 4 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
2112, 20, 4pmapsub 39467 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
228, 19, 21syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
236, 22eqeltrd 2826 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  cfv 6554  Basecbs 17213  occoc 17274  lubclub 18334  Latclat 18456  CLatccla 18523  OPcops 38870  Atomscatm 38961  HLchlt 39048  PSubSpcpsubsp 39195  pmapcpmap 39196  𝑃cpolN 39601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18320  df-poset 18338  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-polarityN 39602
This theorem is referenced by:  polssatN  39607  pclss2polN  39620  psubclsubN  39639  osumcllem1N  39655
  Copyright terms: Public domain W3C validator