Theorem polsubN 35795

Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polsubsp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polsubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		eqid 2764	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polsubsp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2764	. . 3 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polsubsp.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 35794	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7		hllat 35251	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9		hlop 35250	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11		hlclat 35246	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	atssbase 35178	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14		sstr 3768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	13, 14	mpan2 682	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
16	12, 1	clatlubcl 17379	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 15, 16	syl2an 589	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 2	opoccl 35082	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	10, 17, 18	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20		polsubsp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
21	12, 20, 4	pmapsub 35656	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
22	8, 19, 21	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
23	6, 22	eqeltrd 2843	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ⊆ wss 3731  ‘cfv 6067  Basecbs 16131  occoc 16223  lubclub 17209  Latclat 17312  CLatccla 17374  OPcops 35060  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  PSubSpcpsubsp 35384  pmapcpmap 35385  ⊥_𝑃cpolN 35790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-riotaBAD 34841

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-undef 7601  df-proset 17195  df-poset 17213  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p1 17307  df-lat 17313  df-clat 17375  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-polarityN 35791

This theorem is referenced by:  polssatN  35796  pclss2polN  35809  psubclsubN  35828  osumcllem1N  35844