Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polsubN 38778
Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubsp.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
polsubsp.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
polsubsp.p βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
polsubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
3 polsubsp.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . 3 (pmapβ€˜πΎ) = (pmapβ€˜πΎ)
5 polsubsp.p . . 3 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 38777 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
7 hllat 38233 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
87adantr 482 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 hlop 38232 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
109adantr 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OP)
11 hlclat 38228 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 3atssbase 38160 . . . . . 6 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
14 sstr 3991 . . . . . 6 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
1513, 14mpan2 690 . . . . 5 (𝑋 βŠ† 𝐴 β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
1612, 1clatlubcl 18456 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1711, 15, 16syl2an 597 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1812, 2opoccl 38064 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1910, 17, 18syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 polsubsp.s . . . 4 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
2112, 20, 4pmapsub 38639 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))) ∈ 𝑆)
228, 19, 21syl2anc 585 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((lubβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))) ∈ 𝑆)
236, 22eqeltrd 2834 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  occoc 17205  lubclub 18262  Latclat 18384  CLatccla 18451  OPcops 38042  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  PSubSpcpsubsp 38367  pmapcpmap 38368  βŠ₯𝑃cpolN 38773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-polarityN 38774
This theorem is referenced by:  polssatN  38779  pclss2polN  38792  psubclsubN  38811  osumcllem1N  38827
  Copyright terms: Public domain W3C validator