Theorem polsubN 40414

Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polsubsp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polsubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polsubsp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2741	. . 3 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polsubsp.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 40413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7		hllat 39870	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9		hlop 39869	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11		hlclat 39865	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	atssbase 39797	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14		sstr 3925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	13, 14	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
16	12, 1	clatlubcl 18464	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 15, 16	syl2an 603	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 2	opoccl 39701	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	10, 17, 18	syl2anc 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20		polsubsp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
21	12, 20, 4	pmapsub 40275	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
22	8, 19, 21	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
23	6, 22	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  occoc 17223  lubclub 18270  Latclat 18392  CLatccla 18459  OPcops 39679  Atomscatm 39770  HLchlt 39857  PSubSpcpsubsp 40003  pmapcpmap 40004  ⊥_𝑃cpolN 40409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-polarityN 40410

This theorem is referenced by:  polssatN  40415  pclss2polN  40428  psubclsubN  40447  osumcllem1N  40463