Theorem polsubN 40631

Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polsubsp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polsubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		eqid 2770	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polsubsp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2770	. . 3 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polsubsp.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 40630	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7		hllat 40087	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9		hlop 40086	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11		hlclat 40082	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	atssbase 40014	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14		sstr 3953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	13, 14	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
16	12, 1	clatlubcl 18562	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 15, 16	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 2	opoccl 39918	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	10, 17, 18	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20		polsubsp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
21	12, 20, 4	pmapsub 40492	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
22	8, 19, 21	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
23	6, 22	eqeltrd 2870	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  occoc 17321  lubclub 18368  Latclat 18490  CLatccla 18557  OPcops 39896  Atomscatm 39987  HLchlt 40074  PSubSpcpsubsp 40220  pmapcpmap 40221  ⊥_𝑃cpolN 40626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18353  df-poset 18372  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p1 18483  df-lat 18491  df-clat 18558  df-oposet 39900  df-ol 39902  df-oml 39903  df-ats 39991  df-atl 40022  df-cvlat 40046  df-hlat 40075  df-psubsp 40227  df-pmap 40228  df-polarityN 40627

This theorem is referenced by:  polssatN  40632  pclss2polN  40645  psubclsubN  40664  osumcllem1N  40680