Theorem polsubN 39606

Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polsubsp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
polsubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		polsubsp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2726	. . 3 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		polsubsp.p	. . 3 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 39605	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7		hllat 39061	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9		hlop 39060	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10	9	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11		hlclat 39056	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 3	atssbase 38988	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14		sstr 3988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	13, 14	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
16	12, 1	clatlubcl 18528	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 15, 16	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
18	12, 2	opoccl 38892	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	10, 17, 18	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20		polsubsp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
21	12, 20, 4	pmapsub 39467	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
22	8, 19, 21	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
23	6, 22	eqeltrd 2826	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  occoc 17274  lubclub 18334  Latclat 18456  CLatccla 18523  OPcops 38870  Atomscatm 38961  HLchlt 39048  PSubSpcpsubsp 39195  pmapcpmap 39196  ⊥_𝑃cpolN 39601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18320  df-poset 18338  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-polarityN 39602

This theorem is referenced by:  polssatN  39607  pclss2polN  39620  psubclsubN  39639  osumcllem1N  39655