Theorem ispsubcl2N 39992

Description: Alternate predicate for "is a closed projective subspace". Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ispsubcl2N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐾   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ispsubcl2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3		pmapsubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
4	1, 2, 3	ispsubclN 39982	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
5		hlop 39407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
7		hlclat 39403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ CLat)
9	1, 2	polssatN 39953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		pmapsubcl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 1	atssbase 39335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ 𝐵
12	9, 11	sstrdi 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵)
13		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
14	10, 13	clatlubcl 18409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
15	8, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
16		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
17	10, 16	opoccl 39239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
18	6, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
20	19	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
21		pmapsubcl.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
22	13, 16, 1, 21, 2	polval2N 39951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
23	9, 22	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
25		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) ↔ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
26	25	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
27	24, 26	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
28	27	impd 410	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
29	20, 28	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
30		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
31	30	rspceeqv 3600	. . . 4 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
32	29, 31	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
33	10, 1, 21	pmapssat 39804	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	10, 21, 2	2polpmapN 39958	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))
35		sseq1 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
36		2fveq3 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))))
37		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
38	36, 37	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)))
39	35, 38	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))))
40	39	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
41	33, 34, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
42	41	rexlimdva 3133	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
43	32, 42	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
44	4, 43	bitrd 279	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  occoc 17169  lubclub 18215  CLatccla 18404  OPcops 39217  Atomscatm 39308  HLchlt 39395  pmapcpmap 39542  ⊥_𝑃cpolN 39947  PSubClcpscN 39979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39221  df-ol 39223  df-oml 39224  df-covers 39311  df-ats 39312  df-atl 39343  df-cvlat 39367  df-hlat 39396  df-psubsp 39548  df-pmap 39549  df-polarityN 39948  df-psubclN 39980

This theorem is referenced by: (None)