Theorem ispsubcl2N 37888

Description: Alternate predicate for "is a closed projective subspace". Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ispsubcl2N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐾   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ispsubcl2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3		pmapsubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
4	1, 2, 3	ispsubclN 37878	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
5		hlop 37303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
7		hlclat 37299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ CLat)
9	1, 2	polssatN 37849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		pmapsubcl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 1	atssbase 37231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ 𝐵
12	9, 11	sstrdi 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
14	10, 13	clatlubcl 18136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
15	8, 12, 14	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
16		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
17	10, 16	opoccl 37135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
18	6, 15, 17	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
20	19	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
21		pmapsubcl.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
22	13, 16, 1, 21, 2	polval2N 37847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
23	9, 22	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
25		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) ↔ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
26	25	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
27	24, 26	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
28	27	impd 410	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
29	20, 28	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
30		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
31	30	rspceeqv 3567	. . . 4 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
32	29, 31	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
33	10, 1, 21	pmapssat 37700	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	10, 21, 2	2polpmapN 37854	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))
35		sseq1 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
36		2fveq3 6761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))))
37		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
38	36, 37	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)))
39	35, 38	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))))
40	39	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
41	33, 34, 40	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
42	41	rexlimdva 3212	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
43	32, 42	impbid 211	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
44	4, 43	bitrd 278	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  occoc 16896  lubclub 17942  CLatccla 18131  OPcops 37113  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  pmapcpmap 37438  ⊥_𝑃cpolN 37843  PSubClcpscN 37875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-undef 8060  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-polarityN 37844  df-psubclN 37876

This theorem is referenced by: (None)