Theorem ispsubcl2N 40407

Description: Alternate predicate for "is a closed projective subspace". Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ispsubcl2N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐾   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ispsubcl2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3		pmapsubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
4	1, 2, 3	ispsubclN 40397	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
5		hlop 39822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
7		hlclat 39818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ CLat)
9	1, 2	polssatN 40368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		pmapsubcl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 1	atssbase 39750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ 𝐵
12	9, 11	sstrdi 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵)
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
14	10, 13	clatlubcl 18460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
15	8, 12, 14	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
16		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
17	10, 16	opoccl 39654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
18	6, 15, 17	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
20	19	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
21		pmapsubcl.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
22	13, 16, 1, 21, 2	polval2N 40366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
23	9, 22	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
25		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) ↔ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
26	25	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
27	24, 26	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
28	27	impd 410	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
29	20, 28	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
30		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
31	30	rspceeqv 3588	. . . 4 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
32	29, 31	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
33	10, 1, 21	pmapssat 40219	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	10, 21, 2	2polpmapN 40373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))
35		sseq1 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
36		2fveq3 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))))
37		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
38	36, 37	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)))
39	35, 38	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))))
40	39	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
41	33, 34, 40	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
42	41	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
43	32, 42	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
44	4, 43	bitrd 279	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  occoc 17219  lubclub 18266  CLatccla 18455  OPcops 39632  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  pmapcpmap 39957  ⊥_𝑃cpolN 40362  PSubClcpscN 40394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-polarityN 40363  df-psubclN 40395

This theorem is referenced by: (None)