Theorem ispsubcl2N 37584

Description: Alternate predicate for "is a closed projective subspace". Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ispsubcl2N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐾   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ispsubcl2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3		pmapsubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
4	1, 2, 3	ispsubclN 37574	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
5		hlop 36999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
7		hlclat 36995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ CLat)
9	1, 2	polssatN 37545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		pmapsubcl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 1	atssbase 36927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ 𝐵
12	9, 11	sstrdi 3889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
14	10, 13	clatlubcl 17838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
15	8, 12, 14	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
16		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
17	10, 16	opoccl 36831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
18	6, 15, 17	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
19	18	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
20	19	adantrd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
21		pmapsubcl.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
22	13, 16, 1, 21, 2	polval2N 37543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
23	9, 22	syldan 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
24	23	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
25		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) ↔ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
26	25	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
27	24, 26	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
28	27	impd 414	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
29	20, 28	jcad 516	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
30		fveq2 6674	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
31	30	rspceeqv 3541	. . . 4 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
32	29, 31	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
33	10, 1, 21	pmapssat 37396	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	10, 21, 2	2polpmapN 37550	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))
35		sseq1 3902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
36		2fveq3 6679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))))
37		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
38	36, 37	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)))
39	35, 38	anbi12d 634	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))))
40	39	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
41	33, 34, 40	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
42	41	rexlimdva 3194	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
43	32, 42	impbid 215	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
44	4, 43	bitrd 282	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3843  ‘cfv 6339  Basecbs 16586  occoc 16676  lubclub 17668  CLatccla 17833  OPcops 36809  Atomscatm 36900  HLchlt 36987  pmapcpmap 37134  ⊥_𝑃cpolN 37539  PSubClcpscN 37571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-riotaBAD 36590

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-undef 7968  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-polarityN 37540  df-psubclN 37572

This theorem is referenced by: (None)