Theorem ispsubcl2N 40820

Description: Alternate predicate for "is a closed projective subspace". Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ispsubcl2N	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐾   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ispsubcl2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3		pmapsubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
4	1, 2, 3	ispsubclN 40810	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
5		hlop 40235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
7		hlclat 40231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ CLat)
9	1, 2	polssatN 40781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		pmapsubcl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 1	atssbase 40163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ 𝐵
12	9, 11	sstrdi 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
14	10, 13	clatlubcl 18591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
15	8, 12, 14	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵)
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
17	10, 16	opoccl 40067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
18	6, 15, 17	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵)
19	18	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
20	19	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵))
21		pmapsubcl.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
22	13, 16, 1, 21, 2	polval2N 40779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
23	9, 22	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
24	23	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
25		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) ↔ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
26	25	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
27	24, 26	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
28	27	impd 416	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))))
29	20, 28	jcad 522	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))))
30		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)))))
31	30	rspceeqv 3599	. . . 4 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋))))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
32	29, 31	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
33	10, 1, 21	pmapssat 40632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	10, 21, 2	2polpmapN 40786	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))
35		sseq1 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
36		2fveq3 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))))
37		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → 𝑋 = (𝑀‘𝑦))
38	36, 37	eqeq12d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)))
39	35, 38	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦))))
40	39	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑦) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑦))) = (𝑀‘𝑦)) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
41	33, 34, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
42	41	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦) → (𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)))
43	32, 42	impbid 215	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))
44	4, 43	bitrd 282	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 = (𝑀‘𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  occoc 17350  lubclub 18397  CLatccla 18586  OPcops 40045  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  pmapcpmap 40370  ⊥_𝑃cpolN 40775  PSubClcpscN 40807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-polarityN 40776  df-psubclN 40808

This theorem is used by: (None)