Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poml4N 37522
 Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poml4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2766 . . 3 (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ( ‘( 𝑌)))
2 eqid 2759 . . . . . . 7 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 poml4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2759 . . . . . . 7 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 poml4.p . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 52polvalN 37483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
763adant2 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
87eqeq2d 2770 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) ↔ 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
98biimpd 232 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
101, 9syl5bi 245 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
11 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hloml 36926 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OML)
14 hlclat 36927 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ CLat)
16 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝐴)
17 eqid 2759 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 3atssbase 36859 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1916, 18sstrdi 3905 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
2017, 2clatlubcl 17781 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
2115, 19, 20syl2anc 588 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22 simpl3 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌𝐴)
2322, 18sstrdi 3905 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
2417, 2clatlubcl 17781 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 588 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2613, 21, 253jca 1126 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
27 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝑌)
28 eqid 2759 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2917, 28, 2lubss 17790 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋𝑌) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
3015, 23, 27, 29syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
31 eqid 2759 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
32 eqid 2759 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3317, 28, 31, 32omllaw4 36815 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋)))
3426, 30, 33sylc 65 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋))
3534fveq2d 6663 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
362, 32, 3, 4, 5polval2N 37475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
3711, 16, 36syl2anc 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
38 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
3937, 38ineq12d 4119 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
40 hlop 36931 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
4111, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OP)
4217, 32opoccl 36763 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4341, 21, 42syl2anc 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4417, 31, 3, 4pmapmeet 37342 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4511, 43, 25, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4639, 45eqtr4d 2797 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4746fveq2d 6663 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
4811hllatd 36933 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
4917, 31latmcl 17721 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5048, 43, 25, 49syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5117, 32, 4, 5polpmapN 37481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5211, 50, 51syl2anc 588 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5347, 52eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5453, 38ineq12d 4119 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5517, 32opoccl 36763 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5641, 50, 55syl2anc 588 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5717, 31, 3, 4pmapmeet 37342 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5811, 56, 25, 57syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5954, 58eqtr4d 2797 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
602, 3, 4, 52polvalN 37483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6111, 16, 60syl2anc 588 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6235, 59, 613eqtr4d 2804 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
6362ex 417 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
6410, 63sylan2d 608 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  lecple 16623  occoc 16624  lubclub 17611  meetcmee 17614  Latclat 17714  CLatccla 17776  OPcops 36741  OMLcoml 36744  Atomscatm 36832  HLchlt 36919  pmapcpmap 37066  ⊥𝑃cpolN 37471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-riotaBAD 36522 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-undef 7950  df-proset 17597  df-poset 17615  df-plt 17627  df-lub 17643  df-glb 17644  df-join 17645  df-meet 17646  df-p0 17708  df-p1 17709  df-lat 17715  df-clat 17777  df-oposet 36745  df-ol 36747  df-oml 36748  df-covers 36835  df-ats 36836  df-atl 36867  df-cvlat 36891  df-hlat 36920  df-pmap 37073  df-polarityN 37472 This theorem is referenced by:  poml5N  37523  poml6N  37524  pexmidlem6N  37544
 Copyright terms: Public domain W3C validator