Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poml4N 36975
Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poml4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2833 . . 3 (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ( ‘( 𝑌)))
2 eqid 2826 . . . . . . 7 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 poml4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2826 . . . . . . 7 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 poml4.p . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 52polvalN 36936 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
763adant2 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
87eqeq2d 2837 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) ↔ 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
98biimpd 230 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
101, 9syl5bi 243 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
11 simpl1 1185 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hloml 36379 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OML)
14 hlclat 36380 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ CLat)
16 simpl2 1186 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝐴)
17 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 3atssbase 36312 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1916, 18sstrdi 3983 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
2017, 2clatlubcl 17717 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
2115, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22 simpl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌𝐴)
2322, 18sstrdi 3983 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
2417, 2clatlubcl 17717 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2613, 21, 253jca 1122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
27 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝑌)
28 eqid 2826 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2917, 28, 2lubss 17726 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋𝑌) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
3015, 23, 27, 29syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
31 eqid 2826 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
32 eqid 2826 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3317, 28, 31, 32omllaw4 36268 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋)))
3426, 30, 33sylc 65 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋))
3534fveq2d 6673 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
362, 32, 3, 4, 5polval2N 36928 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
3711, 16, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
38 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
3937, 38ineq12d 4194 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
40 hlop 36384 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
4111, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OP)
4217, 32opoccl 36216 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4341, 21, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4417, 31, 3, 4pmapmeet 36795 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4511, 43, 25, 44syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4639, 45eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4746fveq2d 6673 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
4811hllatd 36386 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
4917, 31latmcl 17657 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5048, 43, 25, 49syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5117, 32, 4, 5polpmapN 36934 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5211, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5347, 52eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5453, 38ineq12d 4194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5517, 32opoccl 36216 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5641, 50, 55syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5717, 31, 3, 4pmapmeet 36795 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5811, 56, 25, 57syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5954, 58eqtr4d 2864 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
602, 3, 4, 52polvalN 36936 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6111, 16, 60syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6235, 59, 613eqtr4d 2871 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
6362ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
6410, 63sylan2d 604 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  lecple 16567  occoc 16568  lubclub 17547  meetcmee 17550  Latclat 17650  CLatccla 17712  OPcops 36194  OMLcoml 36197  Atomscatm 36285  HLchlt 36372  pmapcpmap 36519  𝑃cpolN 36924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-riotaBAD 35975
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-undef 7935  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36198  df-ol 36200  df-oml 36201  df-covers 36288  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-pmap 36526  df-polarityN 36925
This theorem is referenced by:  poml5N  36976  poml6N  36977  pexmidlem6N  36997
  Copyright terms: Public domain W3C validator