Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poml4N 38416
Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poml4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2743 . . 3 (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ( ‘( 𝑌)))
2 eqid 2736 . . . . . . 7 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 poml4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 poml4.p . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 52polvalN 38377 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
763adant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
87eqeq2d 2747 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) ↔ 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
98biimpd 228 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
101, 9biimtrid 241 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
11 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hloml 37819 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OML)
14 hlclat 37820 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ CLat)
16 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝐴)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 3atssbase 37752 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1916, 18sstrdi 3956 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
2017, 2clatlubcl 18392 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
2115, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌𝐴)
2322, 18sstrdi 3956 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
2417, 2clatlubcl 18392 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2613, 21, 253jca 1128 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
27 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝑌)
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2917, 28, 2lubss 18402 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋𝑌) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
3015, 23, 27, 29syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
31 eqid 2736 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
32 eqid 2736 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3317, 28, 31, 32omllaw4 37708 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋)))
3426, 30, 33sylc 65 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋))
3534fveq2d 6846 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
362, 32, 3, 4, 5polval2N 38369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
3711, 16, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
38 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
3937, 38ineq12d 4173 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
40 hlop 37824 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
4111, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OP)
4217, 32opoccl 37656 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4341, 21, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4417, 31, 3, 4pmapmeet 38236 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4511, 43, 25, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4639, 45eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4746fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
4811hllatd 37826 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
4917, 31latmcl 18329 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5048, 43, 25, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5117, 32, 4, 5polpmapN 38375 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5211, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5347, 52eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5453, 38ineq12d 4173 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5517, 32opoccl 37656 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5641, 50, 55syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5717, 31, 3, 4pmapmeet 38236 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5811, 56, 25, 57syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5954, 58eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
602, 3, 4, 52polvalN 38377 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6111, 16, 60syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6235, 59, 613eqtr4d 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
6362ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
6410, 63sylan2d 605 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  occoc 17141  lubclub 18198  meetcmee 18201  Latclat 18320  CLatccla 18387  OPcops 37634  OMLcoml 37637  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  pmapcpmap 37960  𝑃cpolN 38365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-pmap 37967  df-polarityN 38366
This theorem is referenced by:  poml5N  38417  poml6N  38418  pexmidlem6N  38438
  Copyright terms: Public domain W3C validator