Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poml4N 38762
Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poml4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2740 . . 3 (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ( ‘( 𝑌)))
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 poml4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 poml4.p . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 52polvalN 38723 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
763adant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
87eqeq2d 2744 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) ↔ 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
98biimpd 228 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 = ( ‘( 𝑌)) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
101, 9biimtrid 241 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑌)) = 𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
11 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hloml 38165 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OML)
14 hlclat 38166 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ CLat)
16 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝐴)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 3atssbase 38098 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1916, 18sstrdi 3993 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
2017, 2clatlubcl 18452 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
2115, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
22 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌𝐴)
2322, 18sstrdi 3993 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
2417, 2clatlubcl 18452 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2515, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2613, 21, 253jca 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
27 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑋𝑌)
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2917, 28, 2lubss 18462 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋𝑌) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
3015, 23, 27, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))
31 eqid 2733 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3317, 28, 31, 32omllaw4 38054 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋)))
3426, 30, 33sylc 65 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) = ((lub‘𝐾)‘𝑋))
3534fveq2d 6892 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
362, 32, 3, 4, 5polval2N 38715 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
3711, 16, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
38 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))
3937, 38ineq12d 4212 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
40 hlop 38170 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
4111, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ OP)
4217, 32opoccl 38002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4341, 21, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
4417, 31, 3, 4pmapmeet 38582 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4511, 43, 25, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4639, 45eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
4746fveq2d 6892 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
4811hllatd 38172 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
4917, 31latmcl 18389 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5048, 43, 25, 49syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
5117, 32, 4, 5polpmapN 38721 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5211, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5347, 52eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))))
5453, 38ineq12d 4212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5517, 32opoccl 38002 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5641, 50, 55syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾))
5717, 31, 3, 4pmapmeet 38582 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5811, 56, 25, 57syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
5954, 58eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ((pmap‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)))(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))))
602, 3, 4, 52polvalN 38723 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6111, 16, 60syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
6235, 59, 613eqtr4d 2783 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
6362ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌𝑌 = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
6410, 63sylan2d 606 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3946  wss 3947   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  lubclub 18258  meetcmee 18261  Latclat 18380  CLatccla 18447  OPcops 37980  OMLcoml 37983  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  pmapcpmap 38306  𝑃cpolN 38711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-pmap 38313  df-polarityN 38712
This theorem is referenced by:  poml5N  38763  poml6N  38764  pexmidlem6N  38784
  Copyright terms: Public domain W3C validator