Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polssN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polssN 39897
Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polssN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 39339 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
21ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝𝑋)
4 simpllr 776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋𝐴)
5 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 2polss.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atssbase 39271 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
84, 7sstrdi 4007 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9 eqid 2734 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 eqid 2734 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
115, 9, 10lubel 18571 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝𝑋𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
122, 3, 8, 11syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
1312ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝𝑋𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
1413ss2rabdv 4085 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → {𝑝𝐴𝑝𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15 sseqin2 4230 . . . . 5 (𝑋𝐴 ↔ (𝐴𝑋) = 𝑋)
1615biimpi 216 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1716adantl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝐴𝑋) = 𝑋)
18 dfin5 3970 . . 3 (𝐴𝑋) = {𝑝𝐴𝑝𝑋}
1917, 18eqtr3di 2789 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 = {𝑝𝐴𝑝𝑋})
20 eqid 2734 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
2210, 6, 20, 212polvalN 39896 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
23 sstr 4003 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
247, 23mpan2 691 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
255, 10clatlubcl 18560 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
261, 24, 25syl2an 596 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
275, 9, 6, 20pmapval 39739 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2826, 27syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2922, 28eqtrd 2774 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
3014, 19, 293sstr4d 4042 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  lubclub 18366  CLatccla 18555  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  pmapcpmap 39479  𝑃cpolN 39884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-pmap 39486  df-polarityN 39885
This theorem is referenced by:  polcon2N  39901  pclss2polN  39903  sspmaplubN  39907  paddunN  39909  pnonsingN  39915  osumcllem1N  39938  osumcllem11N  39948  pexmidN  39951
  Copyright terms: Public domain W3C validator