Theorem 2polssN 40614

Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polssN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 40057	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋)
4		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		2polss.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atssbase 39989	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	4, 7	sstrdi 3955	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	5, 9, 10	lubel 18570	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
12	2, 3, 8, 11	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
13	12	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
14	13	ss2rabdv 4035	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15		sseqin2 4182	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
16	15	bilani 509	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
17		dfin5 3919	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋}
18	16, 17	eqtr3di 2819	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋})
19		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
20		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	10, 6, 19, 20	2polvalN 40613	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
22		sstr 3951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
23	7, 22	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
24	5, 10	clatlubcl 18559	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
25	1, 23, 24	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
26	5, 9, 6, 19	pmapval 40456	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
27	25, 26	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
28	21, 27	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
29	14, 18, 28	3sstr4d 3998	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3422   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  lecple 17317  lubclub 18365  CLatccla 18554  Atomscatm 39962  HLchlt 40049  pmapcpmap 40196  ⊥_𝑃cpolN 40601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39875  df-ol 39877  df-oml 39878  df-covers 39965  df-ats 39966  df-atl 39997  df-cvlat 40021  df-hlat 40050  df-pmap 40203  df-polarityN 40602

This theorem is referenced by:  polcon2N  40618  pclss2polN  40620  sspmaplubN  40624  paddunN  40626  pnonsingN  40632  osumcllem1N  40655  osumcllem11N  40665  pexmidN  40668