Theorem 2polssN 41163

Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polssN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 40606	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋)
4		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		2polss.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atssbase 40538	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	4, 7	sstrdi 3925	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	5, 9, 10	lubel 18714	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
12	2, 3, 8, 11	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
13	12	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
14	13	ss2rabdv 4003	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15		sseqin2 4123	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
16	15	bilani 510	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
17		dfin5 4095	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋}
18	16, 17	eqtr3di 2813	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋})
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
20		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	10, 6, 19, 20	2polvalN 41162	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
22		sstr 3921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
23	7, 22	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
24	5, 10	clatlubcl 18703	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
25	1, 23, 24	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
26	5, 9, 6, 19	pmapval 41005	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
27	25, 26	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
28	21, 27	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
29	14, 18, 28	3sstr4d 3968	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  lecple 17461  lubclub 18509  CLatccla 18698  Atomscatm 40511  HLchlt 40598  pmapcpmap 40745  ⊥_𝑃cpolN 41150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-p1 18624  df-lat 18632  df-clat 18699  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-pmap 40752  df-polarityN 41151

This theorem is used by:  polcon2N  41167  pclss2polN  41169  sspmaplubN  41173  paddunN  41175  pnonsingN  41181  osumcllem1N  41204  osumcllem11N  41214  pexmidN  41217