Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polssN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polssN 36931
Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polssN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 36374 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
21ad3antrrr 726 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝𝑋)
4 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋𝐴)
5 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 2polss.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atssbase 36306 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
84, 7sstrdi 3976 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9 eqid 2818 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 eqid 2818 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
115, 9, 10lubel 17720 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝𝑋𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
122, 3, 8, 11syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
1312ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝𝑋𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
1413ss2rabdv 4049 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → {𝑝𝐴𝑝𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15 dfin5 3941 . . 3 (𝐴𝑋) = {𝑝𝐴𝑝𝑋}
16 sseqin2 4189 . . . . 5 (𝑋𝐴 ↔ (𝐴𝑋) = 𝑋)
1716biimpi 217 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1817adantl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1915, 18syl5reqr 2868 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 = {𝑝𝐴𝑝𝑋})
20 eqid 2818 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
2210, 6, 20, 212polvalN 36930 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
23 sstr 3972 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
247, 23mpan2 687 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
255, 10clatlubcl 17710 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
261, 24, 25syl2an 595 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
275, 9, 6, 20pmapval 36773 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2826, 27syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2922, 28eqtrd 2853 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
3014, 19, 293sstr4d 4011 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  lubclub 17540  CLatccla 17705  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513  𝑃cpolN 36918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-undef 7928  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-pmap 36520  df-polarityN 36919
This theorem is referenced by:  polcon2N  36935  pclss2polN  36937  sspmaplubN  36941  paddunN  36943  pnonsingN  36949  osumcllem1N  36972  osumcllem11N  36982  pexmidN  36985
  Copyright terms: Public domain W3C validator