Theorem 2polssN 40544

Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polss.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polssN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 39987	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	ad3antrrr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋)
4		simpllr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		2polss.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atssbase 39919	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	4, 7	sstrdi 3950	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	5, 9, 10	lubel 18548	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
12	2, 3, 8, 11	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
13	12	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
14	13	ss2rabdv 4030	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15		sseqin2 4177	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
16	15	bilani 508	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑋) = 𝑋)
17		dfin5 3914	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑋) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋}
18	16, 17	eqtr3di 2814	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ∈ 𝑋})
19		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
20		2polss.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	10, 6, 19, 20	2polvalN 40543	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
22		sstr 3946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
23	7, 22	mpan2 701	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
24	5, 10	clatlubcl 18537	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
25	1, 23, 24	syl2an 605	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
26	5, 9, 6, 19	pmapval 40386	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
27	25, 26	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
28	21, 27	eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
29	14, 18, 28	3sstr4d 3993	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  lecple 17295  lubclub 18343  CLatccla 18532  Atomscatm 39892  HLchlt 39979  pmapcpmap 40126  ⊥_𝑃cpolN 40531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-p1 18458  df-lat 18466  df-clat 18533  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-pmap 40133  df-polarityN 40532

This theorem is referenced by:  polcon2N  40548  pclss2polN  40550  sspmaplubN  40554  paddunN  40556  pnonsingN  40562  osumcllem1N  40585  osumcllem11N  40595  pexmidN  40598