Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polssN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polssN 39917
Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polssN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 39359 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
21ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝𝑋)
4 simpllr 776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋𝐴)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 2polss.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atssbase 39291 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
84, 7sstrdi 3996 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9 eqid 2737 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
115, 9, 10lubel 18559 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝𝑋𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
122, 3, 8, 11syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
1312ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝𝑋𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
1413ss2rabdv 4076 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → {𝑝𝐴𝑝𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15 sseqin2 4223 . . . . 5 (𝑋𝐴 ↔ (𝐴𝑋) = 𝑋)
1615biimpi 216 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1716adantl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝐴𝑋) = 𝑋)
18 dfin5 3959 . . 3 (𝐴𝑋) = {𝑝𝐴𝑝𝑋}
1917, 18eqtr3di 2792 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 = {𝑝𝐴𝑝𝑋})
20 eqid 2737 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
2210, 6, 20, 212polvalN 39916 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
23 sstr 3992 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
247, 23mpan2 691 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
255, 10clatlubcl 18548 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
261, 24, 25syl2an 596 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
275, 9, 6, 20pmapval 39759 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2826, 27syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2922, 28eqtrd 2777 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
3014, 19, 293sstr4d 4039 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  lubclub 18355  CLatccla 18543  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  pmapcpmap 39499  𝑃cpolN 39904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-pmap 39506  df-polarityN 39905
This theorem is referenced by:  polcon2N  39921  pclss2polN  39923  sspmaplubN  39927  paddunN  39929  pnonsingN  39935  osumcllem1N  39958  osumcllem11N  39968  pexmidN  39971
  Copyright terms: Public domain W3C validator