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Theorem atlatmstc 38189
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 31615 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atlatmstc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atlatmstc.u 1 = (lubβ€˜πΎ)
atlatmstc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlatmstc (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦, ≀   𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   1 (𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem atlatmstc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
2 ssrab2 4078 . . . . 5 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† 𝐡
3 atlatmstc.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atssbase 38160 . . . . . 6 𝐴 βŠ† 𝐡
6 rabss2 4076 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}
8 atlatmstc.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 atlatmstc.u . . . . . 6 1 = (lubβ€˜πΎ)
103, 8, 9lubss 18466 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† 𝐡 ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))
112, 7, 10mp3an23 1454 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))
121, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))
13 atlpos 38171 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
15 simpl 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
16 simpr 486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
173, 8, 9, 15, 16lubid 18315 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) = 𝑋)
1814, 17sylan 581 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐡 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) = 𝑋)
1912, 18breqtrd 5175 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ≀ 𝑋)
20 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ 𝑋 ↔ π‘₯ ≀ 𝑋))
2120elrab 3684 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑋))
22 simpll2 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
23 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† 𝐴
2423, 5sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† 𝐡
253, 8, 9lubel 18467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))
2624, 25mp3an3 1451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) β†’ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))
2722, 26sylancom 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) β†’ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))
2827ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} β†’ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))
2921, 28biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))
3029expdimp 454 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑋 β†’ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))
31 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
3332, 4atn0 38178 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  (0.β€˜πΎ))
3431, 33sylancom 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  (0.β€˜πΎ))
3534adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) β†’ π‘₯ β‰  (0.β€˜πΎ))
36 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
37 atllat 38170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
403, 4atbase 38159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
423, 9clatlubcl 18456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∈ 𝐡)
431, 24, 42sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∈ 𝐡)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∈ 𝐡)
45 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OML)
46 omlop 38111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
493, 48opoccl 38064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) ∈ 𝐡)
5047, 43, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) ∈ 𝐡)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) ∈ 𝐡)
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
533, 8, 52latlem12 18419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ π‘₯ ≀ (( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))))
5439, 41, 44, 51, 53syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ π‘₯ ≀ (( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))))
553, 48, 52, 32opnoncon 38078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∈ 𝐡) β†’ (( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) = (0.β€˜πΎ))
5647, 43, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) = (0.β€˜πΎ))
5756breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ≀ (( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ π‘₯ ≀ (0.β€˜πΎ)))
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ (( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ π‘₯ ≀ (0.β€˜πΎ)))
593, 8, 32ople0 38057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ≀ (0.β€˜πΎ) ↔ π‘₯ = (0.β€˜πΎ)))
6047, 40, 59syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ (0.β€˜πΎ) ↔ π‘₯ = (0.β€˜πΎ)))
6154, 58, 603bitrd 305 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ π‘₯ = (0.β€˜πΎ)))
6261biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))) β†’ π‘₯ = (0.β€˜πΎ))
6362expr 458 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) β†’ (π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) β†’ π‘₯ = (0.β€˜πΎ)))
6463necon3ad 2954 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) β†’ (π‘₯ β‰  (0.β€˜πΎ) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
6535, 64mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))
6665ex 414 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
6730, 66syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑋 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
68 imnan 401 . . . . . 6 ((π‘₯ ≀ 𝑋 β†’ Β¬ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ Β¬ (π‘₯ ≀ 𝑋 ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
6967, 68sylib 217 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (π‘₯ ≀ 𝑋 ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
70 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
713, 8, 52latlem12 18419 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑋 ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))))
7239, 41, 70, 51, 71syl13anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑋 ∧ π‘₯ ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ↔ π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))))
7369, 72mtbid 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
7473nrexdv 3150 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
75 simpll3 1215 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
76 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
773, 52latmcl 18393 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ∈ 𝐡)
7838, 76, 50, 77syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ∈ 𝐡)
7978adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ∈ 𝐡)
80 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β‰  (0.β€˜πΎ))
813, 8, 32, 4atlex 38186 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
8275, 79, 80, 81syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))))
8382ex 414 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β‰  (0.β€˜πΎ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋})))))
8483necon1bd 2959 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) = (0.β€˜πΎ)))
8574, 84mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) = (0.β€˜πΎ))
863, 8, 52, 48, 32omllaw3 38115 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) = 𝑋))
8745, 43, 76, 86syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}))) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) = 𝑋))
8819, 85, 87mp2and 698 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≀ 𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  occoc 17205  Posetcpo 18260  lubclub 18262  meetcmee 18265  0.cp0 18376  Latclat 18384  CLatccla 18451  OPcops 38042  OMLcoml 38045  Atomscatm 38133  AtLatcal 38134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168
This theorem is referenced by:  atlatle  38190  hlatmstcOLDN  38268  pmaple  38632  pol1N  38781  polpmapN  38783  pmaplubN  38795
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