Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlatmstc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlatmstc 37333
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 30724 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatmstc.l = (le‘𝐾)
atlatmstc.u 1 = (lub‘𝐾)
atlatmstc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlatmstc (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   1 (𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem atlatmstc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
2 ssrab2 4013 . . . . 5 {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵
3 atlatmstc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atssbase 37304 . . . . . 6 𝐴𝐵
6 rabss2 4011 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ {𝑦𝐵𝑦 𝑋})
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}
8 atlatmstc.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 atlatmstc.u . . . . . 6 1 = (lub‘𝐾)
103, 8, 9lubss 18231 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}))
112, 7, 10mp3an23 1452 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}))
121, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}))
13 atlpos 37315 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) → 𝐾 ∈ Poset)
15 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
16 simpr 485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
173, 8, 9, 15, 16lubid 18080 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}) = 𝑋)
1814, 17sylan 580 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}) = 𝑋)
1912, 18breqtrd 5100 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) 𝑋)
20 breq1 5077 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 𝑋𝑥 𝑋))
2120elrab 3624 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ↔ (𝑥𝐴𝑥 𝑋))
22 simpll2 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → 𝐾 ∈ CLat)
23 ssrab2 4013 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐴
2423, 5sstri 3930 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵
253, 8, 9lubel 18232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ∧ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))
2624, 25mp3an3 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))
2722, 26sylancom 588 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))
2827ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
2921, 28syl5bir 242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐴𝑥 𝑋) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
3029expdimp 453 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 𝑋𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
31 simpll3 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
3332, 4atn0 37322 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
3431, 33sylancom 588 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
3534adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
36 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
37 atllat 37314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Lat)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
403, 4atbase 37303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴𝑥𝐵)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
423, 9clatlubcl 18221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵)
431, 24, 42sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵)
45 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
46 omlop 37255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
48 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
493, 48opoccl 37208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)
5047, 43, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)
52 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
533, 8, 52latlem12 18184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵 ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
5439, 41, 44, 51, 53syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
553, 48, 52, 32opnoncon 37222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
5647, 43, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
5756breq2d 5086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (0.‘𝐾)))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (0.‘𝐾)))
593, 8, 32ople0 37201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6047, 40, 59syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6154, 58, 603bitrd 305 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6261biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))) → 𝑥 = (0.‘𝐾))
6362expr 457 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → (𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6463necon3ad 2956 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → (𝑥 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
6535, 64mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
6665ex 413 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
6730, 66syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 𝑋 → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
68 imnan 400 . . . . . 6 ((𝑥 𝑋 → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ ¬ (𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
6967, 68sylib 217 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ (𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
70 simplr 766 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋𝐵)
713, 8, 52latlem12 18184 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑋𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
7239, 41, 70, 51, 71syl13anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
7369, 72mtbid 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
7473nrexdv 3198 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
75 simpll3 1213 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ AtLat)
76 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
773, 52latmcl 18158 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵)
7838, 76, 50, 77syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵)
7978adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵)
80 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾))
813, 8, 32, 4atlex 37330 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
8275, 79, 80, 81syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
8382ex 413 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾) → ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
8483necon1bd 2961 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾)))
8574, 84mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
863, 8, 52, 48, 32omllaw3 37259 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋))
8745, 43, 76, 86syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋))
8819, 85, 87mp2and 696 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  {crab 3068  wss 3887   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  occoc 16970  Posetcpo 18025  lubclub 18027  meetcmee 18030  0.cp0 18141  Latclat 18149  CLatccla 18216  OPcops 37186  OMLcoml 37189  Atomscatm 37277  AtLatcal 37278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312
This theorem is referenced by:  atlatle  37334  hlatmstcOLDN  37411  pmaple  37775  pol1N  37924  polpmapN  37926  pmaplubN  37938
  Copyright terms: Public domain W3C validator