Theorem atlatmstc 39579

Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 32437 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlatmstc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatmstc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlatmstc.u	⊢ 1 = (lub‘𝐾)
atlatmstc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlatmstc	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦, ≤   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   1 (𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem atlatmstc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
2		ssrab2 4032	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵
3		atlatmstc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		atlatmstc.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atssbase 39550	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
6		rabss2 4029	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}
8		atlatmstc.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		atlatmstc.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (lub‘𝐾)
10	3, 8, 9	lubss 18436	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
11	2, 7, 10	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
13		atlpos 39561	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) → 𝐾 ∈ Poset)
15		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	3, 8, 9, 15, 16	lubid 18283	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
18	14, 17	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
19	12, 18	breqtrd 5124	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋)
20		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ 𝑥 ≤ 𝑋))
21	20	elrab 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑋))
22		simpll2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝐾 ∈ CLat)
23		ssrab2 4032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐴
24	23, 5	sstri 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵
25	3, 8, 9	lubel 18437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
26	24, 25	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
27	22, 26	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
28	27	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
29	21, 28	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑋) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
30	29	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑋 → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
31		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
33	32, 4	atn0 39568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
34	31, 33	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
36		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
37		atllat 39560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Lat)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
40	3, 4	atbase 39549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
42	3, 9	clatlubcl 18426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
43	1, 24, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
45		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
46		omlop 39501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
48		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
49	3, 48	opoccl 39454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
50	47, 43, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
52		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
53	3, 8, 52	latlem12 18389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
54	39, 41, 44, 51, 53	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
55	3, 48, 52, 32	opnoncon 39468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
56	47, 43, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
57	56	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (0.‘𝐾)))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (0.‘𝐾)))
59	3, 8, 32	ople0 39447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
60	47, 40, 59	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
61	54, 58, 60	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
62	61	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))) → 𝑥 = (0.‘𝐾))
63	62	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → (𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → 𝑥 = (0.‘𝐾)))
64	63	necon3ad 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → (𝑥 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
65	35, 64	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
66	65	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
67	30, 66	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑋 → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
68		imnan 399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑋 → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ ¬ (𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
69	67, 68	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
70		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	3, 8, 52	latlem12 18389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
72	39, 41, 70, 51, 71	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
73	69, 72	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
74	73	nrexdv 3131	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
75		simpll3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ AtLat)
76		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77	3, 52	latmcl 18363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
78	38, 76, 50, 77	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
79	78	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
80		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾))
81	3, 8, 32, 4	atlex 39576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
82	75, 79, 80, 81	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
83	82	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
84	83	necon1bd 2950	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)))
85	74, 84	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
86	3, 8, 52, 48, 32	omllaw3 39505	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋))
87	45, 43, 76, 86	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋))
88	19, 85, 87	mp2and 699	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3399   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  occoc 17185  Posetcpo 18230  lubclub 18232  meetcmee 18235  0.cp0 18344  Latclat 18354  CLatccla 18421  OPcops 39432  OMLcoml 39435  Atomscatm 39523  AtLatcal 39524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558

This theorem is referenced by:  atlatle  39580  hlatmstcOLDN  39657  pmaple  40021  pol1N  40170  polpmapN  40172  pmaplubN  40184