Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlatmstc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlatmstc 35278
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 29680 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatmstc.l = (le‘𝐾)
atlatmstc.u 1 = (lub‘𝐾)
atlatmstc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlatmstc (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   1 (𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem atlatmstc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1244 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
2 ssrab2 3849 . . . . 5 {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵
3 atlatmstc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atssbase 35249 . . . . . 6 𝐴𝐵
6 rabss2 3847 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ {𝑦𝐵𝑦 𝑋})
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}
8 atlatmstc.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 atlatmstc.u . . . . . 6 1 = (lub‘𝐾)
103, 8, 9lubss 17390 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}))
112, 7, 10mp3an23 1577 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}))
121, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}))
13 atlpos 35260 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant3 1165 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) → 𝐾 ∈ Poset)
15 simpl 474 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
16 simpr 477 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
173, 8, 9, 15, 16lubid 17259 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}) = 𝑋)
1814, 17sylan 575 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐵𝑦 𝑋}) = 𝑋)
1912, 18breqtrd 4837 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) 𝑋)
20 breq1 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 𝑋𝑥 𝑋))
2120elrab 3521 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ↔ (𝑥𝐴𝑥 𝑋))
22 simpll2 1271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → 𝐾 ∈ CLat)
23 ssrab2 3849 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐴
2423, 5sstri 3772 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵
253, 8, 9lubel 17391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ∧ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))
2624, 25mp3an3 1574 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))
2722, 26sylancom 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))
2827ex 401 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
2921, 28syl5bir 234 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐴𝑥 𝑋) → 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
3029expdimp 444 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 𝑋𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
31 simpll3 1273 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
3332, 4atn0 35267 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
3431, 33sylancom 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
3534adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
36 simpl3 1246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
37 atllat 35259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Lat)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
403, 4atbase 35248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴𝑥𝐵)
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
423, 9clatlubcl 17381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦𝐴𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵)
431, 24, 42sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵)
45 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
46 omlop 35200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
48 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
493, 48opoccl 35153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)
5047, 43, 49syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)
52 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
533, 8, 52latlem12 17347 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵 ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
5439, 41, 44, 51, 53syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
553, 48, 52, 32opnoncon 35167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
5647, 43, 55syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
5756breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (0.‘𝐾)))
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 (( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (0.‘𝐾)))
593, 8, 32ople0 35146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6047, 40, 59syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6154, 58, 603bitrd 296 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6261biimpa 468 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∧ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))) → 𝑥 = (0.‘𝐾))
6362expr 448 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → (𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → 𝑥 = (0.‘𝐾)))
6463necon3ad 2950 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → (𝑥 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
6535, 64mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))
6665ex 401 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
6730, 66syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 𝑋 → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
68 imnan 388 . . . . . 6 ((𝑥 𝑋 → ¬ 𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ ¬ (𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
6967, 68sylib 209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ (𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
70 simplr 785 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋𝐵)
713, 8, 52latlem12 17347 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑋𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
7239, 41, 70, 51, 71syl13anc 1491 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 𝑋𝑥 ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ↔ 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
7369, 72mtbid 315 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
7473nrexdv 3147 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
75 simpll3 1273 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ AtLat)
76 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
773, 52latmcl 17321 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵)
7838, 76, 50, 77syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵)
7978adantr 472 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵)
80 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾))
813, 8, 32, 4atlex 35275 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
8275, 79, 80, 81syl3anc 1490 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))))
8382ex 401 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾) → ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋})))))
8483necon1bd 2955 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾)))
8574, 84mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
863, 8, 52, 48, 32omllaw3 35204 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋))
8745, 43, 76, 86syl3anc 1490 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋))
8819, 85, 87mp2and 690 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ‘{𝑦𝐴𝑦 𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  {crab 3059  wss 3734   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  lecple 16224  occoc 16225  Posetcpo 17209  lubclub 17211  meetcmee 17214  0.cp0 17306  Latclat 17314  CLatccla 17376  OPcops 35131  OMLcoml 35134  Atomscatm 35222  AtLatcal 35223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-proset 17197  df-poset 17215  df-plt 17227  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-p0 17308  df-lat 17315  df-clat 17377  df-oposet 35135  df-ol 35137  df-oml 35138  df-covers 35225  df-ats 35226  df-atl 35257
This theorem is referenced by:  atlatle  35279  hlatmstcOLDN  35356  pmaple  35720  pol1N  35869  polpmapN  35871  pmaplubN  35883
  Copyright terms: Public domain W3C validator