Theorem atlatmstc 39223

Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 32385 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlatmstc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatmstc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlatmstc.u	⊢ 1 = (lub‘𝐾)
atlatmstc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlatmstc	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦, ≤   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   1 (𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem atlatmstc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
2		ssrab2 4097	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵
3		atlatmstc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		atlatmstc.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atssbase 39194	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
6		rabss2 4095	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}
8		atlatmstc.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		atlatmstc.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (lub‘𝐾)
10	3, 8, 9	lubss 18578	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
11	2, 7, 10	mp3an23 1453	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
13		atlpos 39205	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) → 𝐾 ∈ Poset)
15		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	3, 8, 9, 15, 16	lubid 18427	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
18	14, 17	sylan 579	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
19	12, 18	breqtrd 5195	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋)
20		breq1 5172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ 𝑥 ≤ 𝑋))
21	20	elrab 3703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑋))
22		simpll2 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝐾 ∈ CLat)
23		ssrab2 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐴
24	23, 5	sstri 4012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵
25	3, 8, 9	lubel 18579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
26	24, 25	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
27	22, 26	sylancom 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
28	27	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
29	21, 28	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑋) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
30	29	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑋 → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
31		simpll3 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
33	32, 4	atn0 39212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
34	31, 33	sylancom 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
36		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
37		atllat 39204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Lat)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
40	3, 4	atbase 39193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
42	3, 9	clatlubcl 18568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
43	1, 24, 42	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
45		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
46		omlop 39145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
48		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
49	3, 48	opoccl 39098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
50	47, 43, 49	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
52		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
53	3, 8, 52	latlem12 18531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
54	39, 41, 44, 51, 53	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
55	3, 48, 52, 32	opnoncon 39112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
56	47, 43, 55	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
57	56	breq2d 5181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (0.‘𝐾)))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (0.‘𝐾)))
59	3, 8, 32	ople0 39091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
60	47, 40, 59	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
61	54, 58, 60	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
62	61	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))) → 𝑥 = (0.‘𝐾))
63	62	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → (𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → 𝑥 = (0.‘𝐾)))
64	63	necon3ad 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → (𝑥 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
65	35, 64	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
66	65	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
67	30, 66	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑋 → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
68		imnan 399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑋 → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ ¬ (𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
69	67, 68	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
70		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	3, 8, 52	latlem12 18531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
72	39, 41, 70, 51, 71	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
73	69, 72	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
74	73	nrexdv 3151	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
75		simpll3 1214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ AtLat)
76		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77	3, 52	latmcl 18505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
78	38, 76, 50, 77	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
79	78	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
80		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾))
81	3, 8, 32, 4	atlex 39220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
82	75, 79, 80, 81	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
83	82	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
84	83	necon1bd 2960	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)))
85	74, 84	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
86	3, 8, 52, 48, 32	omllaw3 39149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋))
87	45, 43, 76, 86	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋))
88	19, 85, 87	mp2and 698	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  ∃wrex 3072  {crab 3438   ⊆ wss 3970   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  lecple 17313  occoc 17314  Posetcpo 18372  lubclub 18374  meetcmee 18377  0.cp0 18488  Latclat 18496  CLatccla 18563  OPcops 39076  OMLcoml 39079  Atomscatm 39167  AtLatcal 39168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-lub 18411  df-glb 18412  df-join 18413  df-meet 18414  df-p0 18490  df-lat 18497  df-clat 18564  df-oposet 39080  df-ol 39082  df-oml 39083  df-covers 39170  df-ats 39171  df-atl 39202

This theorem is referenced by:  atlatle  39224  hlatmstcOLDN  39302  pmaple  39666  pol1N  39815  polpmapN  39817  pmaplubN  39829