MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axac2 10458
Description: Derive ax-ac2 10455 from ax-ac 10451. (Contributed by NM, 19-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axac2 𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑣) ∧ 𝑧𝑣))) ∨ (¬ 𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢

Proof of Theorem axac2
StepHypRef Expression
1 dfac2a 10121 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣𝑧𝑢𝑦 (𝑧𝑢𝑣𝑢)) → CHOICE)
2 ac3 10454 . . . 4 𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣𝑧𝑢𝑦 (𝑧𝑢𝑣𝑢))
31, 2mpg 1791 . . 3 CHOICE
4 dfackm 10158 . . 3 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑣) ∧ 𝑧𝑣))) ∨ (¬ 𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))))
53, 4mpbi 229 . 2 𝑥𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑣) ∧ 𝑧𝑣))) ∨ (¬ 𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣)))))
65spi 2169 1 𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑣) ∧ 𝑧𝑣))) ∨ (¬ 𝑦𝑥 ∧ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844  wal 1531  wex 1773  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  ∃!wreu 3366  c0 4315  CHOICEwac 10107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-ac 10451
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ac 10108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator