MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem13 28837
Description: Lemma for axlowdim 28844. Establish that 𝑃 and 𝑄 are different points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem13.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem13.2 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃𝑄)

Proof of Theorem axlowdimlem13
StepHypRef Expression
1 2ne0 12349 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
21neii 2931 . . . . . . . 8 ¬ 2 = 0
3 eqcom 2732 . . . . . . . . 9 (2 = 0 ↔ 0 = 2)
4 1pneg1e0 12364 . . . . . . . . . . 11 (1 + -1) = 0
54eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 0 = (1 + -1)
6 df-2 12308 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
75, 6eqeq12i 2743 . . . . . . . . 9 (0 = 2 ↔ (1 + -1) = (1 + 1))
8 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
9 neg1cn 12359 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
108, 9, 8addcani 11439 . . . . . . . . 9 ((1 + -1) = (1 + 1) ↔ -1 = 1)
113, 7, 103bitri 296 . . . . . . . 8 (2 = 0 ↔ -1 = 1)
122, 11mtbi 321 . . . . . . 7 ¬ -1 = 1
1312intnanr 486 . . . . . 6 ¬ (-1 = 1 ∧ 0 = 0)
14 ax-1ne0 11209 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
1514neii 2931 . . . . . . . 8 ¬ 1 = 0
16 negeq0 11546 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → (1 = 0 ↔ -1 = 0))
178, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 = 0 ↔ -1 = 0)
1815, 17mtbi 321 . . . . . . 7 ¬ -1 = 0
1918intnanr 486 . . . . . 6 ¬ (-1 = 0 ∧ 0 = 1)
2013, 19pm3.2ni 878 . . . . 5 ¬ ((-1 = 1 ∧ 0 = 0) ∨ (-1 = 0 ∧ 0 = 1))
21 negex 11490 . . . . . 6 -1 ∈ V
22 c0ex 11240 . . . . . 6 0 ∈ V
23 1ex 11242 . . . . . 6 1 ∈ V
2421, 22, 23, 22preq12b 4853 . . . . 5 ({-1, 0} = {1, 0} ↔ ((-1 = 1 ∧ 0 = 0) ∨ (-1 = 0 ∧ 0 = 1)))
2520, 24mtbir 322 . . . 4 ¬ {-1, 0} = {1, 0}
26 3ex 12327 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
2726rnsnop 6230 . . . . . . . 8 ran {⟨3, -1⟩} = {-1}
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran {⟨3, -1⟩} = {-1})
29 elnnuz 12899 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
30 eluzfz1 13543 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
3129, 30sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
32 df-3 12309 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
33 1e0p1 12752 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
3432, 33eqeq12i 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 = 1 ↔ (2 + 1) = (0 + 1))
35 2cn 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
36 0cn 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
3735, 36, 8addcan2i 11440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 1) = (0 + 1) ↔ 2 = 0)
3834, 37bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (3 = 1 ↔ 2 = 0)
3938necon3bii 2982 . . . . . . . . . . . 12 (3 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 0)
401, 39mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 1
4140necomi 2984 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
42 eldifsn 4792 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) ↔ (1 ∈ (1...𝑁) ∧ 1 ≠ 3))
4331, 41, 42sylanblrc 588 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))
4443adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))
45 ne0i 4334 . . . . . . . 8 (1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → ((1...𝑁) ∖ {3}) ≠ ∅)
46 rnxp 6176 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∖ {3}) ≠ ∅ → ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) = {0})
4744, 45, 463syl 18 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) = {0})
4828, 47uneq12d 4161 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran {⟨3, -1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({-1} ∪ {0}))
49 rnun 6152 . . . . . 6 ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = (ran {⟨3, -1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
50 df-pr 4633 . . . . . 6 {-1, 0} = ({-1} ∪ {0})
5148, 49, 503eqtr4g 2790 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = {-1, 0})
52 ovex 7452 . . . . . . . . 9 (𝐼 + 1) ∈ V
5352rnsnop 6230 . . . . . . . 8 ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} = {1}
5453a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} = {1})
55 nnz 12612 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
56 fzssp1 13579 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
57 zcn 12596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
58 npcan1 11671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5958oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6156, 60sseqtrid 4029 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
6255, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
6362sselda 3976 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
64 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6564zred 12699 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
66 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
67 ltp1 12087 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
6866, 67ltned 11382 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
7069adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
71 eldifsn 4792 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
7263, 70, 71sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
73 ne0i 4334 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ≠ ∅)
74 rnxp 6176 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ≠ ∅ → ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) = {0})
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) = {0})
7654, 75uneq12d 4161 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = ({1} ∪ {0}))
77 rnun 6152 . . . . . 6 ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = (ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
78 df-pr 4633 . . . . . 6 {1, 0} = ({1} ∪ {0})
7976, 77, 783eqtr4g 2790 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = {1, 0})
8051, 79eqeq12d 2741 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ↔ {-1, 0} = {1, 0}))
8125, 80mtbiri 326 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
82 rneq 5938 . . 3 (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) → ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8381, 82nsyl 140 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
84 axlowdimlem13.1 . . . 4 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
85 axlowdimlem13.2 . . . 4 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
8684, 85eqeq12i 2743 . . 3 (𝑃 = 𝑄 ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8786necon3abii 2976 . 2 (𝑃𝑄 ↔ ¬ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8883, 87sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3941  cun 3942  wss 3944  c0 4322  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636   × cxp 5676  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  cmin 11476  -cneg 11477  cn 12245  2c2 12300  3c3 12301  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28839
  Copyright terms: Public domain W3C validator