MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem13 27431
Description: Lemma for axlowdim 27438. Establish that 𝑃 and 𝑄 are different points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem13.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem13.2 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃𝑄)

Proof of Theorem axlowdimlem13
StepHypRef Expression
1 2ne0 12150 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
21neii 2943 . . . . . . . 8 ¬ 2 = 0
3 eqcom 2744 . . . . . . . . 9 (2 = 0 ↔ 0 = 2)
4 1pneg1e0 12165 . . . . . . . . . . 11 (1 + -1) = 0
54eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 0 = (1 + -1)
6 df-2 12109 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
75, 6eqeq12i 2755 . . . . . . . . 9 (0 = 2 ↔ (1 + -1) = (1 + 1))
8 ax-1cn 11002 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
9 neg1cn 12160 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
108, 9, 8addcani 11241 . . . . . . . . 9 ((1 + -1) = (1 + 1) ↔ -1 = 1)
113, 7, 103bitri 296 . . . . . . . 8 (2 = 0 ↔ -1 = 1)
122, 11mtbi 321 . . . . . . 7 ¬ -1 = 1
1312intnanr 488 . . . . . 6 ¬ (-1 = 1 ∧ 0 = 0)
14 ax-1ne0 11013 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
1514neii 2943 . . . . . . . 8 ¬ 1 = 0
16 negeq0 11348 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → (1 = 0 ↔ -1 = 0))
178, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 = 0 ↔ -1 = 0)
1815, 17mtbi 321 . . . . . . 7 ¬ -1 = 0
1918intnanr 488 . . . . . 6 ¬ (-1 = 0 ∧ 0 = 1)
2013, 19pm3.2ni 878 . . . . 5 ¬ ((-1 = 1 ∧ 0 = 0) ∨ (-1 = 0 ∧ 0 = 1))
21 negex 11292 . . . . . 6 -1 ∈ V
22 c0ex 11042 . . . . . 6 0 ∈ V
23 1ex 11044 . . . . . 6 1 ∈ V
2421, 22, 23, 22preq12b 4793 . . . . 5 ({-1, 0} = {1, 0} ↔ ((-1 = 1 ∧ 0 = 0) ∨ (-1 = 0 ∧ 0 = 1)))
2520, 24mtbir 322 . . . 4 ¬ {-1, 0} = {1, 0}
26 3ex 12128 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
2726rnsnop 6149 . . . . . . . 8 ran {⟨3, -1⟩} = {-1}
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran {⟨3, -1⟩} = {-1})
29 elnnuz 12695 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
30 eluzfz1 13336 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
3129, 30sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
32 df-3 12110 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
33 1e0p1 12552 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
3432, 33eqeq12i 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 = 1 ↔ (2 + 1) = (0 + 1))
35 2cn 12121 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
36 0cn 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
3735, 36, 8addcan2i 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 1) = (0 + 1) ↔ 2 = 0)
3834, 37bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (3 = 1 ↔ 2 = 0)
3938necon3bii 2994 . . . . . . . . . . . 12 (3 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 0)
401, 39mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 1
4140necomi 2996 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
42 eldifsn 4732 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) ↔ (1 ∈ (1...𝑁) ∧ 1 ≠ 3))
4331, 41, 42sylanblrc 590 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))
4443adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))
45 ne0i 4279 . . . . . . . 8 (1 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → ((1...𝑁) ∖ {3}) ≠ ∅)
46 rnxp 6095 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∖ {3}) ≠ ∅ → ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) = {0})
4744, 45, 463syl 18 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) = {0})
4828, 47uneq12d 4109 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran {⟨3, -1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({-1} ∪ {0}))
49 rnun 6071 . . . . . 6 ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = (ran {⟨3, -1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
50 df-pr 4574 . . . . . 6 {-1, 0} = ({-1} ∪ {0})
5148, 49, 503eqtr4g 2802 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = {-1, 0})
52 ovex 7348 . . . . . . . . 9 (𝐼 + 1) ∈ V
5352rnsnop 6149 . . . . . . . 8 ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} = {1}
5453a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} = {1})
55 nnz 12415 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
56 fzssp1 13372 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
57 zcn 12397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
58 npcan1 11473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5958oveq2d 7331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
6156, 60sseqtrid 3983 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
6255, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
6362sselda 3931 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
64 elfzelz 13329 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6564zred 12499 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
66 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
67 ltp1 11888 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
6866, 67ltned 11184 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
7069adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
71 eldifsn 4732 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
7263, 70, 71sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
73 ne0i 4279 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ≠ ∅)
74 rnxp 6095 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ≠ ∅ → ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) = {0})
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) = {0})
7654, 75uneq12d 4109 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = ({1} ∪ {0}))
77 rnun 6071 . . . . . 6 ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = (ran {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ ran (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
78 df-pr 4574 . . . . . 6 {1, 0} = ({1} ∪ {0})
7976, 77, 783eqtr4g 2802 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) = {1, 0})
8051, 79eqeq12d 2753 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) ↔ {-1, 0} = {1, 0}))
8125, 80mtbiri 326 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
82 rneq 5864 . . 3 (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})) → ran ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ran ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8381, 82nsyl 140 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ¬ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
84 axlowdimlem13.1 . . . 4 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
85 axlowdimlem13.2 . . . 4 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
8684, 85eqeq12i 2755 . . 3 (𝑃 = 𝑄 ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8786necon3abii 2988 . 2 (𝑃𝑄 ↔ ¬ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})))
8883, 87sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑃𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  cdif 3894  cun 3895  wss 3897  c0 4267  {csn 4571  {cpr 4573  cop 4577   × cxp 5605  ran crn 5608  cfv 6465  (class class class)co 7315  cc 10942  cr 10943  0cc0 10944  1c1 10945   + caddc 10947  cmin 11278  -cneg 11279  cn 12046  2c2 12101  3c3 12102  cz 12392  cuz 12655  ...cfz 13312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  27433
  Copyright terms: Public domain W3C validator