Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem17 26796
 Description: Lemma for axlowdim 26799. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem16.2 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem17.3 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
axlowdimlem17.4 𝑋 ∈ ℝ
axlowdimlem17.5 𝑌 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

Proof of Theorem axlowdimlem17
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 12297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
21ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
3 fzss2 12962 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
5 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...2))
64, 5sseldd 3918 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
7 fznuz 13004 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...2) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
87adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
9 3z 12023 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
10 uzid 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℤ → 3 ∈ (ℤ‘3))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ (ℤ‘3)
12 df-3 11707 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312fveq2i 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘3) = (ℤ‘(2 + 1))
1411, 13eleqtri 2888 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ (ℤ‘(2 + 1))
15 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 3 → (𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)) ↔ 3 ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
1614, 15mpbiri 261 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 3 → 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
1716necon3bi 3013 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → 𝑖 ≠ 3)
188, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ 3)
19 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2019axlowdimlem9 26788 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 3) → (𝑃𝑖) = 0)
216, 18, 20syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃𝑖) = 0)
22 elfzuz 12918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
24 eluzp1p1 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
26 uzss 12273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → (ℤ‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ‘(2 + 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (ℤ‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ‘(2 + 1)))
2827, 8ssneldd 3920 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
29 eluzelz 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
31 uzid 12266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 + 1) ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
33 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))))
3432, 33syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))))
3534necon3bd 3001 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)))
3628, 35mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1))
37 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . 10 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
3837axlowdimlem12 26791 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄𝑖) = 0)
396, 36, 38syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑄𝑖) = 0)
4021, 39eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃𝑖) = (𝑄𝑖))
4140oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)))
4241oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
4342sumeq2dv 15072 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
4419, 37axlowdimlem16 26795 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄𝑖)↑2))
45 axlowdimlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
4645fveq1i 6656 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑖) = (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖)
47 axlowdimlem2 26781 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
48 axlowdimlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 ∈ ℝ
49 axlowdimlem17.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑌 ∈ ℝ
5048, 49axlowdimlem4 26783 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ
51 ffn 6495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2)
53 axlowdimlem1 26780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
54 ffn 6495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ → ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁))
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁)
56 fvun2 6740 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁))) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
5752, 55, 56mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
5847, 57mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
5946, 58syl5eq 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
60 c0ex 10642 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
6160fvconst2 6953 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (((3...𝑁) × {0})‘𝑖) = 0)
6259, 61eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴𝑖) = 0)
6362adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝐴𝑖) = 0)
6463oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝑃𝑖) − 0))
6519axlowdimlem7 26786 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
67 3nn 11722 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℕ
68 nnuz 12289 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
6967, 68eleqtri 2888 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ (ℤ‘1)
70 fzss1 12961 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ (ℤ‘1) → (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
7271sseli 3913 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
7372adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
74 fveecn 26740 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℂ)
7566, 73, 74syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℂ)
7675subid1d 10993 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − 0) = (𝑃𝑖))
7764, 76eqtrd 2833 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) = (𝑃𝑖))
7877oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = ((𝑃𝑖)↑2))
7978sumeq2dv 15072 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃𝑖)↑2))
8063oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝑄𝑖) − 0))
81 eluzge3nn 12298 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
82 2eluzge1 12302 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ (ℤ‘1)
83 fzss1 12961 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1))
8584sseli 3913 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
8637axlowdimlem10 26789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
8781, 85, 86syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
88 fveecn 26740 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
8987, 72, 88syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
9089subid1d 10993 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − 0) = (𝑄𝑖))
9180, 90eqtrd 2833 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)) = (𝑄𝑖))
9291oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = ((𝑄𝑖)↑2))
9392sumeq2dv 15072 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄𝑖)↑2))
9444, 79, 933eqtr4d 2843 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
9543, 94oveq12d 7163 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
9647a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅)
97 eluzelre 12262 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
98 eluzle 12264 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
99 2re 11717 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
100 3re 11723 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
101 2lt3 11815 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
10299, 100, 101ltleii 10770 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 3
103 letr 10741 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
10499, 100, 103mp3an12 1448 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
105102, 104mpani 695 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
10697, 98, 105sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ≤ 𝑁)
107 1le2 11852 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
108106, 107jctil 523 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
109108adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
110 eluzelz 12261 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
111110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
112 2z 12022 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
113 1z 12020 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
114 elfz 12911 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
115112, 113, 114mp3an12 1448 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
116111, 115syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
117109, 116mpbird 260 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ (1...𝑁))
118 fzsplit 12948 . . . . . 6 (2 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
119117, 118syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
12012oveq1i 7155 . . . . . 6 (3...𝑁) = ((2 + 1)...𝑁)
121120uneq2i 4090 . . . . 5 ((1...2) ∪ (3...𝑁)) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁))
122119, 121eqtr4di 2851 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
123 fzfid 13356 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12465ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
125124, 74sylancom 591 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℂ)
12648, 49axlowdimlem5 26784 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
12745, 126eqeltrid 2894 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
1281, 127syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
129128ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
130 fveecn 26740 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
131129, 130sylancom 591 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
132125, 131subcld 11004 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
133132sqcld 13524 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℂ)
13496, 122, 123, 133fsumsplit 15109 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
13587, 88sylan 583 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
136135, 131subcld 11004 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
137136sqcld 13524 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℂ)
13896, 122, 123, 137fsumsplit 15109 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
13995, 134, 1383eqtr4d 2843 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
14065adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
141128adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
142 brcgr 26738 . . 3 (((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
143140, 141, 87, 141, 142syl22anc 837 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
144139, 143mpbird 260 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  {csn 4528  {cpr 4530  ⟨cop 4534   class class class wbr 5034   × cxp 5521   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   ≤ cle 10683   − cmin 10877  -cneg 10878  ℕcn 11643  2c2 11698  3c3 11699  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ...cfz 12905  ↑cexp 13445  Σcsu 15054  𝔼cee 26726  Cgrccgr 26728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055  df-ee 26729  df-cgr 26731 This theorem is referenced by:  axlowdim  26799
 Copyright terms: Public domain W3C validator