Theorem axlowdimlem17 27326

Description: Lemma for axlowdim 27329. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem16.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem16.2	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem17.3	⊢ 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
axlowdimlem17.4	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
axlowdimlem17.5	⊢ 𝑌 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem17	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

Proof of Theorem axlowdimlem17

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
3		fzss2 13296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
5		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...2))
6	4, 5	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
7		fznuz 13338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...2) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
9		3z 12353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
10		uzid 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ (ℤ≥‘3))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘3)
12		df-3 12037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘3) = (ℤ≥‘(2 + 1))
14	11, 13	eleqtri 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))
15		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 3 → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
16	14, 15	mpbiri 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 3 → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
17	16	necon3bi 2970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 𝑖 ≠ 3)
18	8, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ 3)
19		axlowdimlem16.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
20	19	axlowdimlem9 27318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 3) → (𝑃‘𝑖) = 0)
21	6, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃‘𝑖) = 0)
22		elfzuz 13252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluzp1p1 12610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
26		uzss 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(2 + 1)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(2 + 1)))
28	27, 8	ssneldd 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
29		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
31		uzid 12597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
33		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1))))
34	32, 33	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1))))
35	34	necon3bd 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)))
36	28, 35	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1))
37		axlowdimlem16.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
38	37	axlowdimlem12 27321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝑖) = 0)
39	6, 36, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑄‘𝑖) = 0)
40	21, 39	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑄‘𝑖))
41	40	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
42	41	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
43	42	sumeq2dv 15415	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
44	19, 37	axlowdimlem16 27325	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2))
45		axlowdimlem17.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
46	45	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴‘𝑖) = (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖)
47		axlowdimlem2 27311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
48		axlowdimlem17.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
49		axlowdimlem17.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑌 ∈ ℝ
50	48, 49	axlowdimlem4 27313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ
51		ffn 6600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2)
53		axlowdimlem1 27310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
54		ffn 6600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ → ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁))
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁)
56		fvun2 6860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁))) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
57	52, 55, 56	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
58	47, 57	mpan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
59	46, 58	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
60		c0ex 10969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
61	60	fvconst2 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (((3...𝑁) × {0})‘𝑖) = 0)
62	59, 61	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴‘𝑖) = 0)
63	62	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = 0)
64	63	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑃‘𝑖) − 0))
65	19	axlowdimlem7 27316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
66	65	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
67		3nn 12052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℕ
68		nnuz 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
69	67, 68	eleqtri 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
70		fzss1 13295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
72	71	sseli 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
74		fveecn 27270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
75	66, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
76	75	subid1d 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − 0) = (𝑃‘𝑖))
77	64, 76	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = (𝑃‘𝑖))
78	77	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = ((𝑃‘𝑖)↑2))
79	78	sumeq2dv 15415	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2))
80	63	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑄‘𝑖) − 0))
81		eluzge3nn 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
82		2eluzge1 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
83		fzss1 13295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1))
85	84	sseli 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
86	37	axlowdimlem10 27319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
87	81, 85, 86	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
88		fveecn 27270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
89	87, 72, 88	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
90	89	subid1d 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − 0) = (𝑄‘𝑖))
91	80, 90	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = (𝑄‘𝑖))
92	91	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = ((𝑄‘𝑖)↑2))
93	92	sumeq2dv 15415	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2))
94	44, 79, 93	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
95	43, 94	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
96	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅)
97		eluzelre 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
98		eluzle 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
99		2re 12047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
100		3re 12053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
101		2lt3 12145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
102	99, 100, 101	ltleii 11098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 3
103		letr 11069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
104	99, 100, 103	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
105	102, 104	mpani 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
106	97, 98, 105	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ 𝑁)
107		1le2 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
108	106, 107	jctil 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
109	108	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
110		eluzelz 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
111	110	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
112		2z 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
113		1z 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
114		elfz 13245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
115	112, 113, 114	mp3an12 1450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
116	111, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
117	109, 116	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ (1...𝑁))
118		fzsplit 13282	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
119	117, 118	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
120	12	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ (3...𝑁) = ((2 + 1)...𝑁)
121	120	uneq2i 4094	. . . . 5 ⊢ ((1...2) ∪ (3...𝑁)) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁))
122	119, 121	eqtr4di 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
123		fzfid 13693	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
124	65	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
125	124, 74	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
126	48, 49	axlowdimlem5 27314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
127	45, 126	eqeltrid 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
128	1, 127	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
129	128	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
130		fveecn 27270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
131	129, 130	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
132	125, 131	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
133	132	sqcld 13862	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
134	96, 122, 123, 133	fsumsplit 15453	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
135	87, 88	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
136	135, 131	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
137	136	sqcld 13862	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
138	96, 122, 123, 137	fsumsplit 15453	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
139	95, 134, 138	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
140	65	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
141	128	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
142		brcgr 27268	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
143	140, 141, 87, 141, 142	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
144	139, 143	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Σcsu 15397  𝔼cee 27256  Cgrccgr 27258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-ee 27259  df-cgr 27261

This theorem is referenced by:  axlowdim  27329