Theorem axlowdimlem17 27229

Description: Lemma for axlowdim 27232. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem16.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem16.2	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem17.3	⊢ 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
axlowdimlem17.4	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
axlowdimlem17.5	⊢ 𝑌 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem17	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

Proof of Theorem axlowdimlem17

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
3		fzss2 13225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...2))
6	4, 5	sseldd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
7		fznuz 13267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...2) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
9		3z 12283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
10		uzid 12526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ (ℤ≥‘3))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘3)
12		df-3 11967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘3) = (ℤ≥‘(2 + 1))
14	11, 13	eleqtri 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))
15		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 3 → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
16	14, 15	mpbiri 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 3 → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
17	16	necon3bi 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 𝑖 ≠ 3)
18	8, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ 3)
19		axlowdimlem16.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
20	19	axlowdimlem9 27221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 3) → (𝑃‘𝑖) = 0)
21	6, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃‘𝑖) = 0)
22		elfzuz 13181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluzp1p1 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
26		uzss 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(2 + 1)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(2 + 1)))
28	27, 8	ssneldd 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
29		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
31		uzid 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
33		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1))))
34	32, 33	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1))))
35	34	necon3bd 2956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)))
36	28, 35	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1))
37		axlowdimlem16.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
38	37	axlowdimlem12 27224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝑖) = 0)
39	6, 36, 38	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑄‘𝑖) = 0)
40	21, 39	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑄‘𝑖))
41	40	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
42	41	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
43	42	sumeq2dv 15343	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
44	19, 37	axlowdimlem16 27228	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2))
45		axlowdimlem17.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
46	45	fveq1i 6757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴‘𝑖) = (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖)
47		axlowdimlem2 27214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
48		axlowdimlem17.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
49		axlowdimlem17.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑌 ∈ ℝ
50	48, 49	axlowdimlem4 27216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ
51		ffn 6584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2)
53		axlowdimlem1 27213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
54		ffn 6584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ → ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁))
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁)
56		fvun2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁))) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
57	52, 55, 56	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
58	47, 57	mpan 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
59	46, 58	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
60		c0ex 10900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
61	60	fvconst2 7061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (((3...𝑁) × {0})‘𝑖) = 0)
62	59, 61	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴‘𝑖) = 0)
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = 0)
64	63	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑃‘𝑖) − 0))
65	19	axlowdimlem7 27219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
66	65	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
67		3nn 11982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℕ
68		nnuz 12550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
69	67, 68	eleqtri 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
70		fzss1 13224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
72	71	sseli 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
74		fveecn 27173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
75	66, 73, 74	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
76	75	subid1d 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − 0) = (𝑃‘𝑖))
77	64, 76	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = (𝑃‘𝑖))
78	77	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = ((𝑃‘𝑖)↑2))
79	78	sumeq2dv 15343	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2))
80	63	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑄‘𝑖) − 0))
81		eluzge3nn 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
82		2eluzge1 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
83		fzss1 13224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1))
85	84	sseli 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
86	37	axlowdimlem10 27222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
87	81, 85, 86	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
88		fveecn 27173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
89	87, 72, 88	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
90	89	subid1d 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − 0) = (𝑄‘𝑖))
91	80, 90	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = (𝑄‘𝑖))
92	91	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = ((𝑄‘𝑖)↑2))
93	92	sumeq2dv 15343	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2))
94	44, 79, 93	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
95	43, 94	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
96	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅)
97		eluzelre 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
98		eluzle 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
99		2re 11977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
100		3re 11983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
101		2lt3 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
102	99, 100, 101	ltleii 11028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 3
103		letr 10999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
104	99, 100, 103	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
105	102, 104	mpani 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
106	97, 98, 105	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ 𝑁)
107		1le2 12112	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
108	106, 107	jctil 519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
109	108	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
110		eluzelz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
111	110	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
112		2z 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
113		1z 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
114		elfz 13174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
115	112, 113, 114	mp3an12 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
116	111, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
117	109, 116	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ (1...𝑁))
118		fzsplit 13211	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
119	117, 118	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
120	12	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ (3...𝑁) = ((2 + 1)...𝑁)
121	120	uneq2i 4090	. . . . 5 ⊢ ((1...2) ∪ (3...𝑁)) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁))
122	119, 121	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
123		fzfid 13621	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
124	65	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
125	124, 74	sylancom 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
126	48, 49	axlowdimlem5 27217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
127	45, 126	eqeltrid 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
128	1, 127	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
129	128	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
130		fveecn 27173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
131	129, 130	sylancom 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
132	125, 131	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
133	132	sqcld 13790	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
134	96, 122, 123, 133	fsumsplit 15381	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
135	87, 88	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
136	135, 131	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
137	136	sqcld 13790	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
138	96, 122, 123, 137	fsumsplit 15381	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
139	95, 134, 138	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
140	65	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
141	128	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
142		brcgr 27171	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
143	140, 141, 87, 141, 142	syl22anc 835	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
144	139, 143	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  Σcsu 15325  𝔼cee 27159  Cgrccgr 27161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-ee 27162  df-cgr 27164

This theorem is referenced by:  axlowdim  27232