Theorem axlowdimlem17 29541

Description: Lemma for axlowdim 29544. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem16.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem16.2	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem17.3	⊢ 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
axlowdimlem17.4	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
axlowdimlem17.5	⊢ 𝑌 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem17	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

Proof of Theorem axlowdimlem17

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 13014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
3		fzss2 13701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...2))
6	4, 5	sseldd 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
7		fznuz 13746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...2) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
8	7	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
9		3z 12732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
10		uzid 12983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ (ℤ≥‘3))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘3)
12		df-3 12409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘3) = (ℤ≥‘(2 + 1))
14	11, 13	eleqtri 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))
15		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 3 → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 3 → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
17	16	necon3bi 2981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → 𝑖 ≠ 3)
18	8, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ 3)
19		axlowdimlem16.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
20	19	axlowdimlem9 29533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 3) → (𝑃‘𝑖) = 0)
21	6, 18, 20	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃‘𝑖) = 0)
22		elfzuz 13655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluzp1p1 12996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)))
26		uzss 12991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(2 + 1)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(2 + 1)))
28	27, 8	ssneldd 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
29		eluzelz 12978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
30	25, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
31		uzid 12983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)))
33		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1))))
34	32, 33	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1))))
35	34	necon3bd 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (¬ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐼 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)))
36	28, 35	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1))
37		axlowdimlem16.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
38	37	axlowdimlem12 29536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝑖) = 0)
39	6, 36, 38	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑄‘𝑖) = 0)
40	21, 39	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑄‘𝑖))
41	40	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
42	41	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
43	42	sumeq2dv 15874	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
44	19, 37	axlowdimlem16 29540	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2))
45		axlowdimlem17.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
46	45	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴‘𝑖) = (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖)
47		axlowdimlem2 29526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
48		axlowdimlem17.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
49		axlowdimlem17.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑌 ∈ ℝ
50	48, 49	axlowdimlem4 29528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ
51		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2)
53		axlowdimlem1 29525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
54		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ → ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁))
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁)
56		fvun2 6977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁))) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
57	52, 55, 56	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
58	47, 57	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
59	46, 58	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
60		c0ex 11303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
61	60	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (((3...𝑁) × {0})‘𝑖) = 0)
62	59, 61	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴‘𝑖) = 0)
63	62	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = 0)
64	63	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑃‘𝑖) − 0))
65	19	axlowdimlem7 29531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
66	65	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
67		3nn 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℕ
68		nnuz 13007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
69	67, 68	eleqtri 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
70		fzss1 13700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
72	71	sseli 3904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (3...𝑁) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
73	72	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
74		fveecn 29485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
75	66, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
76	75	subid1d 11661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − 0) = (𝑃‘𝑖))
77	64, 76	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = (𝑃‘𝑖))
78	77	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = ((𝑃‘𝑖)↑2))
79	78	sumeq2dv 15874	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃‘𝑖)↑2))
80	63	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝑄‘𝑖) − 0))
81		eluz3nn 13019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
82		2eluzge1 13012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
83		fzss1 13700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1))
85	84	sseli 3904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
86	37	axlowdimlem10 29534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
87	81, 85, 86	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
88		fveecn 29485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
89	87, 72, 88	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
90	89	subid1d 11661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − 0) = (𝑄‘𝑖))
91	80, 90	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = (𝑄‘𝑖))
92	91	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = ((𝑄‘𝑖)↑2))
93	92	sumeq2dv 15874	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄‘𝑖)↑2))
94	44, 79, 93	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
95	43, 94	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
96	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅)
97		eluzelre 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
98		eluzle 12981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
99		2re 12420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
100		3re 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
101		2lt3 12519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
102	99, 100, 101	ltleii 11436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 3
103		letr 11407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
104	99, 100, 103	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
105	102, 104	mpani 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
106	97, 98, 105	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ 𝑁)
107		1le2 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
108	106, 107	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
109	108	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
110		eluzelz 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
111	110	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
112		2z 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
113		1z 12729	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
114		elfz 13648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
115	112, 113, 114	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
116	111, 115	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
117	109, 116	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ (1...𝑁))
118		fzsplit 13687	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
119	117, 118	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
120	12	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ (3...𝑁) = ((2 + 1)...𝑁)
121	120	uneq2i 4164	. . . . 5 ⊢ ((1...2) ∪ (3...𝑁)) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁))
122	119, 121	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
123		fzfid 14119	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
124	65	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
125	124, 74	sylancom 600	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℂ)
126	48, 49	axlowdimlem5 29529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
127	45, 126	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
128	1, 127	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
129	128	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
130		fveecn 29485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
131	129, 130	sylancom 600	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
132	125, 131	subcld 11672	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
133	132	sqcld 14290	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
134	96, 122, 123, 133	fsumsplit 15912	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
135	87, 88	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
136	135, 131	subcld 11672	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
137	136	sqcld 14290	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
138	96, 122, 123, 137	fsumsplit 15912	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
139	95, 134, 138	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
140	65	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
141	128	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
142		brcgr 29483	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
143	140, 141, 87, 141, 142	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
144	139, 143	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   ≤ cle 11347   − cmin 11544   -cneg 11545  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  ↑cexp 14207  Σcsu 15858  𝔼cee 29470  Cgrccgr 29472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-ee 29473  df-cgr 29475

This theorem is used by:  axlowdim  29544