MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem17 28974
Description: Lemma for axlowdim 28977. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
axlowdimlem16.2 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem17.3 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
axlowdimlem17.4 𝑋 ∈ ℝ
axlowdimlem17.5 𝑌 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)

Proof of Theorem axlowdimlem17
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 12932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
21ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
3 fzss2 13605 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (1...2) ⊆ (1...𝑁))
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...2))
64, 5sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
7 fznuz 13650 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...2) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
87adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
9 3z 12652 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
10 uzid 12894 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℤ → 3 ∈ (ℤ‘3))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ (ℤ‘3)
12 df-3 12331 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘3) = (ℤ‘(2 + 1))
1411, 13eleqtri 2838 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ (ℤ‘(2 + 1))
15 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 3 → (𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)) ↔ 3 ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 3 → 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
1716necon3bi 2966 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → 𝑖 ≠ 3)
188, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ 3)
19 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2019axlowdimlem9 28966 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 3) → (𝑃𝑖) = 0)
216, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃𝑖) = 0)
22 elfzuz 13561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
2322ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
24 eluzp1p1 12907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)))
26 uzss 12902 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → (ℤ‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ‘(2 + 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (ℤ‘(𝐼 + 1)) ⊆ (ℤ‘(2 + 1)))
2827, 8ssneldd 3985 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
29 eluzelz 12889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
31 uzid 12894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 + 1) ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
33 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))))
3432, 33syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑖 = (𝐼 + 1) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1))))
3534necon3bd 2953 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (¬ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)))
3628, 35mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → 𝑖 ≠ (𝐼 + 1))
37 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . 10 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
3837axlowdimlem12 28969 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄𝑖) = 0)
396, 36, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑄𝑖) = 0)
4021, 39eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (𝑃𝑖) = (𝑄𝑖))
4140oveq1d 7447 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)))
4241oveq1d 7447 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...2)) → (((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
4342sumeq2dv 15739 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
4419, 37axlowdimlem16 28973 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃𝑖)↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄𝑖)↑2))
45 axlowdimlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
4645fveq1i 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑖) = (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖)
47 axlowdimlem2 28959 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
48 axlowdimlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 ∈ ℝ
49 axlowdimlem17.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑌 ∈ ℝ
5048, 49axlowdimlem4 28961 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ
51 ffn 6735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}:(1...2)⟶ℝ → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2)
53 axlowdimlem1 28958 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
54 ffn 6735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ → ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁))
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁)
56 fvun2 7000 . . . . . . . . . . . . . 14 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} Fn (1...2) ∧ ((3...𝑁) × {0}) Fn (3...𝑁) ∧ (((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁))) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
5752, 55, 56mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅ ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
5847, 57mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))‘𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
5946, 58eqtrid 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴𝑖) = (((3...𝑁) × {0})‘𝑖))
60 c0ex 11256 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
6160fvconst2 7225 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (((3...𝑁) × {0})‘𝑖) = 0)
6259, 61eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → (𝐴𝑖) = 0)
6362adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝐴𝑖) = 0)
6463oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝑃𝑖) − 0))
6519axlowdimlem7 28964 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
6665ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
67 3nn 12346 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℕ
68 nnuz 12922 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
6967, 68eleqtri 2838 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ (ℤ‘1)
70 fzss1 13604 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ (ℤ‘1) → (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
7271sseli 3978 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (3...𝑁) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
7372adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
74 fveecn 28918 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℂ)
7566, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℂ)
7675subid1d 11610 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − 0) = (𝑃𝑖))
7764, 76eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) = (𝑃𝑖))
7877oveq1d 7447 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = ((𝑃𝑖)↑2))
7978sumeq2dv 15739 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑃𝑖)↑2))
8063oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝑄𝑖) − 0))
81 eluzge3nn 12933 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
82 2eluzge1 12937 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ (ℤ‘1)
83 fzss1 13604 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...(𝑁 − 1))
8584sseli 3978 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
8637axlowdimlem10 28967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
8781, 85, 86syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
88 fveecn 28918 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
8987, 72, 88syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
9089subid1d 11610 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − 0) = (𝑄𝑖))
9180, 90eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)) = (𝑄𝑖))
9291oveq1d 7447 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (3...𝑁)) → (((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = ((𝑄𝑖)↑2))
9392sumeq2dv 15739 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)((𝑄𝑖)↑2))
9444, 79, 933eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
9543, 94oveq12d 7450 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
9647a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅)
97 eluzelre 12890 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
98 eluzle 12892 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
99 2re 12341 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
100 3re 12347 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
101 2lt3 12439 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
10299, 100, 101ltleii 11385 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 3
103 letr 11356 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
10499, 100, 103mp3an12 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → ((2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁))
105102, 104mpani 696 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
10697, 98, 105sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ≤ 𝑁)
107 1le2 12476 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
108106, 107jctil 519 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
109108adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
110 eluzelz 12889 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
111110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
112 2z 12651 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
113 1z 12649 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
114 elfz 13554 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
115112, 113, 114mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
116111, 115syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
117109, 116mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ (1...𝑁))
118 fzsplit 13591 . . . . . 6 (2 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
119117, 118syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
12012oveq1i 7442 . . . . . 6 (3...𝑁) = ((2 + 1)...𝑁)
121120uneq2i 4164 . . . . 5 ((1...2) ∪ (3...𝑁)) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁))
122119, 121eqtr4di 2794 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
123 fzfid 14015 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12465ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
125124, 74sylancom 588 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℂ)
12648, 49axlowdimlem5 28962 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
12745, 126eqeltrid 2844 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
1281, 127syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
129128ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
130 fveecn 28918 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
131129, 130sylancom 588 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
132125, 131subcld 11621 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
133132sqcld 14185 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℂ)
13496, 122, 123, 133fsumsplit 15778 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
13587, 88sylan 580 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
136135, 131subcld 11621 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
137136sqcld 14185 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℂ)
13896, 122, 123, 137fsumsplit 15778 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (Σ𝑖 ∈ (1...2)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) + Σ𝑖 ∈ (3...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
13995, 134, 1383eqtr4d 2786 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
14065adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
141128adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
142 brcgr 28916 . . 3 (((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
143140, 141, 87, 141, 142syl22anc 838 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑃𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑄𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
144139, 143mpbird 257 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐼 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ⟨𝑃, 𝐴⟩Cgr⟨𝑄, 𝐴⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625  {cpr 4627  cop 4631   class class class wbr 5142   × cxp 5682   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  cexp 14103  Σcsu 15723  𝔼cee 28904  Cgrccgr 28906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-ee 28907  df-cgr 28909
This theorem is referenced by:  axlowdim  28977
  Copyright terms: Public domain W3C validator