Theorem bj-restsnss 37833

Description: Special case of bj-restsn 37832. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnss	⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem bj-restsnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqin2 4169	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
2		sneq 4594	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴})
3	1, 2	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴})
4		ssexg 5284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
5	4	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		bj-restsn 37832	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
7	5, 6	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
8		eqeq2 2772	. . 3 ⊢ ({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴}))
9	8	biimpa 482	. 2 ⊢ (({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
10	3, 7, 9	syl2an2 699	1 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rest 17507

This theorem is used by:  bj-restsn10  37836  bj-restsnid  37837