Theorem bj-restsnss 37076

Description: Special case of bj-restsn 37075. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnss	⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem bj-restsnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqin2 4176	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
2		sneq 4589	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴})
3	1, 2	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴})
4		ssexg 5265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		bj-restsn 37075	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
7	5, 6	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
8		eqeq2 2741	. . 3 ⊢ ({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴}))
9	8	biimpa 476	. 2 ⊢ (({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
10	3, 7, 9	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  (class class class)co 7353   ↾_t crest 17343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-rest 17345

This theorem is referenced by:  bj-restsn10  37079  bj-restsnid  37080