Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restsnss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restsnss 34442
Description: Special case of bj-restsn 34441. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restsnss ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem bj-restsnss
StepHypRef Expression
1 sseqin2 4177 . . 3 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
2 sneq 4560 . . 3 ((𝑌𝐴) = 𝐴 → {(𝑌𝐴)} = {𝐴})
31, 2sylbi 220 . 2 (𝐴𝑌 → {(𝑌𝐴)} = {𝐴})
4 ssexg 5213 . . . 4 ((𝐴𝑌𝑌𝑉) → 𝐴 ∈ V)
54ancoms 462 . . 3 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 bj-restsn 34441 . . 3 ((𝑌𝑉𝐴 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
75, 6syldan 594 . 2 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
8 eqeq2 2836 . . 3 ({(𝑌𝐴)} = {𝐴} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴}))
98biimpa 480 . 2 (({(𝑌𝐴)} = {𝐴} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
103, 7, 9syl2an2 685 1 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  {csn 4550  (class class class)co 7149  t crest 16694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-rest 16696
This theorem is referenced by:  bj-restsn10  34445  bj-restsnid  34446
  Copyright terms: Public domain W3C validator