Theorem bj-restsnss 37725

Description: Special case of bj-restsn 37724. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnss	⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem bj-restsnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqin2 4176	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
2		sneq 4599	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴})
3	1, 2	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴})
4		ssexg 5290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
5	4	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		bj-restsn 37724	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
7	5, 6	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
8		eqeq2 2775	. . 3 ⊢ ({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴}))
9	8	biimpa 481	. 2 ⊢ (({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝐴} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
10	3, 7, 9	syl2an2 698	1 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-rest 17470

This theorem is referenced by:  bj-restsn10  37728  bj-restsnid  37729