Theorem bj-restsnid 37786

Description: The elementwise intersection on the singleton on a class by that class is the singleton on that class. Special case of bj-restsn 37781 and bj-restsnss 37782. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnid	⊢ ({𝐴} ↾t 𝐴) = {𝐴}

Proof of Theorem bj-restsnid

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3960	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		bj-restsnss 37782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → ({𝐴} ↾t 𝐴) = {𝐴})
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝐴} ↾t 𝐴) = {𝐴})
4		df-rest 17497	. . . . 5 ⊢ ↾t = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑥 ↦ (𝑧 ∩ 𝑦)))
5	4	reldmmpo 7553	. . . 4 ⊢ Rel dom ↾t
6	5	ovprc2 7459	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ↾t 𝐴) = ∅)
7		snprc 4685	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8	7	biimpi 219	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
9	6, 8	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ↾t 𝐴) = {𝐴})
10	3, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ ({𝐴} ↾t 𝐴) = {𝐴}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  (class class class)co 7419   ↾_t crest 17495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-rest 17497

This theorem is used by: (None)