Theorem bramul 31928

Description: Linearity property of bra for multiplication. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bramul	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)))

Proof of Theorem bramul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his3 31066	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
2	1	3comr 1125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
3		hvmulcl 30995	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4		braval 31926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴))
5	3, 4	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴))
6	5	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴))
7		braval 31926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐴))
8	7	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐴))
9	8	oveq2d 7368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
10	2, 6, 9	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   · cmul 11018   ℋchba 30901   ·_ℎ csm 30903   ·_ih csp 30904  bracbr 30938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-hilex 30981  ax-hfvmul 30987  ax-his3 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-bra 31832

This theorem is referenced by:  bralnfn  31930