Theorem bramul 30209

Description: Linearity property of bra for multiplication. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bramul	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)))

Proof of Theorem bramul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his3 29347	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
2	1	3comr 1123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
3		hvmulcl 29276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4		braval 30207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴))
5	3, 4	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴))
6	5	3impb 1113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐵 ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐴))
7		braval 30207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐴))
8	7	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐴))
9	8	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
10	2, 6, 9	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   · cmul 10807   ℋchba 29182   ·_ℎ csm 29184   ·_ih csp 29185  bracbr 29219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-hilex 29262  ax-hfvmul 29268  ax-his3 29347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-bra 30113

This theorem is referenced by:  bralnfn  30211