HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bramul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bramul 31062
Description: Linearity property of bra for multiplication. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bramul ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)))

Proof of Theorem bramul
StepHypRef Expression
1 ax-his3 30200 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 · 𝐶) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
213comr 1125 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 · 𝐶) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
3 hvmulcl 30129 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
4 braval 31060 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) ·ih 𝐴))
53, 4sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) ·ih 𝐴))
653impb 1115 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐶) ·ih 𝐴))
7 braval 31060 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐴))
873adant2 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐴))
98oveq2d 7409 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)) = (𝐵 · (𝐶 ·ih 𝐴)))
102, 6, 93eqtr4d 2781 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · ((bra‘𝐴)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090   · cmul 11097  chba 30035   · csm 30037   ·ih csp 30038  bracbr 30072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-hilex 30115  ax-hfvmul 30121  ax-his3 30200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-bra 30966
This theorem is referenced by:  bralnfn  31064
  Copyright terms: Public domain W3C validator