Theorem brafn 31933

Description: The bra function is a functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
brafn	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)

Proof of Theorem brafn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafval 31929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐴)))
2		hicl 31066	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 3	fmpt3d 7111	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   ℋchba 30905   ·_ih csp 30908  bracbr 30942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-hilex 30985  ax-hfi 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-bra 31836

This theorem is referenced by:  bralnfn  31934  bracl  31935  brafnmul  31937  branmfn  32091  rnbra  32093  kbass2  32103  kbass3  32104