Theorem brafn 31891

Description: The bra function is a functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
brafn	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)

Proof of Theorem brafn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafval 31887	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 𝐴)))
2		hicl 31024	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 3	fmpt3d 7050	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   ℋchba 30863   ·_ih csp 30866  bracbr 30900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-hilex 30943  ax-hfi 31023

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-bra 31794

This theorem is referenced by:  bralnfn  31892  bracl  31893  brafnmul  31895  branmfn  32049  rnbra  32051  kbass2  32061  kbass3  32062