Theorem bralnfn 31483

Description: The Dirac bra function is a linear functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bralnfn	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Proof of Theorem bralnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafn 31482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
2		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		hvmulcl 30548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4	3	ad2ant2lr 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
6		braadd 31480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
8		bramul 31481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
9	8	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
10	9	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
11	10	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
12	7, 11	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
13	12	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
14	13	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
15		ellnfn 31418	. 2 ⊢ ((bra‘𝐴) ∈ LinFn ↔ ((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧))))
16	1, 14, 15	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   + caddc 11119   · cmul 11121   ℋchba 30454   +_ℎ cva 30455   ·_ℎ csm 30456  LinFnclf 30489  bracbr 30491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-hilex 30534  ax-hfvadd 30535  ax-hfvmul 30540  ax-hfi 30614  ax-his2 30618  ax-his3 30619

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-lnfn 31383  df-bra 31385

This theorem is referenced by:  rnbra  31642  kbass4  31654