Theorem bralnfn 31468

Description: The Dirac bra function is a linear functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bralnfn	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Proof of Theorem bralnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafn 31467	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
2		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		hvmulcl 30533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4	3	ad2ant2lr 744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
6		braadd 31465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
8		bramul 31466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
9	8	3expa 1116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
10	9	adantrr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
11	10	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
12	7, 11	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
13	12	ralrimivva 3198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
14	13	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
15		ellnfn 31403	. 2 ⊢ ((bra‘𝐴) ∈ LinFn ↔ ((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧))))
16	1, 14, 15	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   · cmul 11117   ℋchba 30439   +_ℎ cva 30440   ·_ℎ csm 30441  LinFnclf 30474  bracbr 30476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hfvmul 30525  ax-hfi 30599  ax-his2 30603  ax-his3 30604

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-lnfn 31368  df-bra 31370

This theorem is referenced by:  rnbra  31627  kbass4  31639