Theorem bralnfn 32019

Description: The Dirac bra function is a linear functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bralnfn	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Proof of Theorem bralnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafn 32018	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
2		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		hvmulcl 31084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4	3	ad2ant2lr 749	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
6		braadd 32016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
8		bramul 32017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
9	8	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
10	9	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
11	10	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
12	7, 11	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
13	12	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
14	13	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
15		ellnfn 31954	. 2 ⊢ ((bra‘𝐴) ∈ LinFn ↔ ((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧))))
16	1, 14, 15	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991   ·_ℎ csm 30992  LinFnclf 31025  bracbr 31027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hfvmul 31076  ax-hfi 31150  ax-his2 31154  ax-his3 31155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-lnfn 31919  df-bra 31921

This theorem is referenced by:  rnbra  32178  kbass4  32190