Theorem rtrclreclem3 14418

Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rtrclreclem.rel	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
rtrclreclem.rex	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem3	⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem3

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 𝑚 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 5563	. . 3 ⊢ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}
2		elopab 5413	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} ↔ ∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)))
3		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩))
4	3	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) ↔ (⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑))))
5		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝜑)
6		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔))
7		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓)
8		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
9		rtrclreclem.rel	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
10		rtrclreclem.rex	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
11	9, 10	dfrtrclrec2 14415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
13	7, 12	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
14		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)
15		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝜑)
16	9, 10	dfrtrclrec2 14415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
18	14, 17	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
19		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
21	20	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
22		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
24	23	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
27	21, 26	nn0addcld 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
28	21	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
30	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
32	29, 31	addcomd 10841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛))
33		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0))
34	33	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) ↔ ((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))))))
35	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36	21	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝜑)
38	37	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝜑)
39	38, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → Rel 𝑅)
40	38, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑅 ∈ V)
41	39, 40	relexpaddd 14412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛))))
42	35, 36, 41	mp2and 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
43		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
44	43	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛))))
45	42, 44	syl5ibr 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
46	34, 45	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
47	32, 46	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
48		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
49	48	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
50		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
51	50	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
52	51	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
53	52	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
54	53	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
55		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 𝑓 ∈ V
56		breq2 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
57		breq1 5068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ↔ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
58	56, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) ↔ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)))
59	55, 58	spcev 3606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
60	49, 54, 59	syl2an2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
61		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ 𝑒 ∈ V
62		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ 𝑔 ∈ V
63	61, 62	brco 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔 ↔ ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
64	60, 63	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔)
65	47, 64	breqdi 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔)
66		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑅↑𝑟𝑖) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
67	66	breqd 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔 ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
68	67	rspcev 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
69	65, 68	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
70	27, 69	mpancom 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
71		df-br 5066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
72	37, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → Rel 𝑅)
73	37, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑅 ∈ V)
74	72, 73	dfrtrclrec2 14415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
75	71, 74	syl5bbr 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
76	70, 75	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
77	76	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
78	77	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
79	78	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
80	79	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
81	80	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
82	81	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
83	82	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
84	83	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
85	84	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
86	85	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
87	86	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
88	87	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
89	88	rexlimiv 3280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
90	18, 89	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
91	90	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
92	91	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
93	92	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
94	93	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
95	94	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
96	95	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
97	96	rexlimiv 3280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
98	13, 97	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
99	98	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
100	99	expcom 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
101	100	exlimdv 1930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
102	5, 6, 101	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
103		eleq1 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
104	102, 103	syl5ibr 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
105	4, 104	sylbid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
106	105	anabsi5 667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
107	106	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
108	107	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
109	108	exlimdvv 1931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
110	2, 109	syl5bi 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
111		eleq2 2901	. . . . 5 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ↔ 𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}))
112	111	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → ((𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
113	110, 112	syl5ibr 248	. . 3 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
114	1, 113	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
115	114	ssrdv 3972	1 ⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ⟨cop 4572   class class class wbr 5065  {copab 5127   ∘ ccom 5558  Rel wrel 5559  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   + caddc 10539  ℕ₀cn0 11896  ↑_𝑟crelexp 14378  t*reccrtrcl 14413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-seq 13369  df-relexp 14379  df-rtrclrec 14414

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14420