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Theorem rtrclreclem3 14905
Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem.1 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem3 (πœ‘ β†’ ((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) βŠ† (t*recβ€˜π‘…))

Proof of Theorem rtrclreclem3
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 π‘š β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-co 5640 . . 3 ((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) = {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)}
2 elopab 5482 . . . . 5 (𝑑 ∈ {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)} ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘”(𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)))
3 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© β†’ (𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ↔ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ©))
43anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© β†’ ((𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘)) ↔ (βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘))))
5 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘)) β†’ πœ‘)
6 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔))
7 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ 𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓)
8 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ πœ‘)
9 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
109dfrtrclrec2 14903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓))
127, 11mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓)
13 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)
14 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ πœ‘)
159dfrtrclrec2 14903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„•0 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„•0 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔))
1713, 16mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„•0 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔)
18 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
21 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2620, 25nn0addcld 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„•0)
2720adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2827nn0cnd 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2925adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
3029nn0cnd 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
3128, 30addcomd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ (𝑛 + π‘š) = (π‘š + 𝑛))
32 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + π‘š) = (π‘š + 𝑛) β†’ ((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ↔ (π‘š + 𝑛) ∈ β„•0))
3332anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑛 + π‘š) = (π‘š + 𝑛) β†’ (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) ↔ ((π‘š + 𝑛) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))))))
34 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ πœ‘)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((π‘š + 𝑛) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ πœ‘)
3635, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((π‘š + 𝑛) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ Rel 𝑅)
3725adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((π‘š + 𝑛) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
3820adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((π‘š + 𝑛) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
3936, 37, 38relexpaddd 14899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((π‘š + 𝑛) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 𝑛)))
40 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑛 + π‘š) = (π‘š + 𝑛) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š)) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 𝑛)))
4140eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + π‘š) = (π‘š + 𝑛) β†’ (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š)) ↔ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 𝑛))))
4239, 41syl5ibr 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑛 + π‘š) = (π‘š + 𝑛) β†’ (((π‘š + 𝑛) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š))))
4333, 42sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑛 + π‘š) = (π‘š + 𝑛) β†’ (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š))))
4431, 43mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š)))
45 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓)
47 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔)
52 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑓 ∈ V
53 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (β„Ž = 𝑓 β†’ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)β„Ž ↔ 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓))
54 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (β„Ž = 𝑓 β†’ (β„Ž(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ↔ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔))
5553, 54anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (β„Ž = 𝑓 β†’ ((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)β„Ž ∧ β„Ž(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔) ↔ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔)))
5652, 55spcev 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔) β†’ βˆƒβ„Ž(𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)β„Ž ∧ β„Ž(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔))
5746, 51, 56syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ βˆƒβ„Ž(𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)β„Ž ∧ β„Ž(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔))
58 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑒 ∈ V
59 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑔 ∈ V
6058, 59brco 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑒((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))𝑔 ↔ βˆƒβ„Ž(𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)β„Ž ∧ β„Ž(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔))
6157, 60sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ 𝑒((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))𝑔)
6244, 61breqdi 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š))𝑔)
63 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑖 = (𝑛 + π‘š) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š)))
6463breqd 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑖 = (𝑛 + π‘š) β†’ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–)𝑔 ↔ 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š))𝑔))
6564rspcev 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿ(𝑛 + π‘š))𝑔) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–)𝑔)
6662, 65syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑛 + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–)𝑔)
6726, 66mpancom 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–)𝑔)
68 df-br 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ↔ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
6934, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ Rel 𝑅)
7069dfrtrclrec2 14903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–)𝑔))
7168, 70bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–)𝑔))
7267, 71mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
7372expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
7473expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))))
7574expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))))
7675anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))))
7776impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ ((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))))
7877anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))))
7978impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
8079anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
8180impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
8281anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) ∧ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
8382expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
8483expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 β†’ ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))))
8584rexlimiv 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆƒπ‘š ∈ β„•0 𝑓(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š)𝑔 β†’ ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
8617, 85mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
8786expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
8887anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘) ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
8988impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ ((𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘) ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
9089anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) ∧ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
9190expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
9291expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 β†’ ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))))
9392rexlimiv 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑒(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑓 β†’ ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
9412, 93mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ (𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔 ∧ πœ‘)) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
9594anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
9695expcom 414 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
9796exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
985, 6, 97sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘)) β†’ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…))
99 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© β†’ (𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…) ↔ βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
10098, 99syl5ibr 245 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© β†’ ((βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
1014, 100sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© β†’ ((𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
102101anabsi5 667 . . . . . . . 8 ((𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ (βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔) ∧ πœ‘)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…))
103102anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)) ∧ πœ‘) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…))
104103expcom 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
105104exlimdvv 1937 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’βˆƒπ‘”(𝑑 = βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
1062, 105biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)} β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
107 eleq2 2826 . . . . 5 (((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) = {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)} β†’ (𝑑 ∈ ((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) ↔ 𝑑 ∈ {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)}))
108107imbi1d 341 . . . 4 (((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) = {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)} β†’ ((𝑑 ∈ ((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (𝑑 ∈ {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)} β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…))))
109106, 108syl5ibr 245 . . 3 (((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) = {βŸ¨π‘’, π‘”βŸ© ∣ βˆƒπ‘“(𝑒(t*recβ€˜π‘…)𝑓 ∧ 𝑓(t*recβ€˜π‘…)𝑔)} β†’ (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…))))
1101, 109ax-mp 5 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) β†’ 𝑑 ∈ (t*recβ€˜π‘…)))
111110ssrdv 3948 1 (πœ‘ β†’ ((t*recβ€˜π‘…) ∘ (t*recβ€˜π‘…)) βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3908  βŸ¨cop 4590   class class class wbr 5103  {copab 5165   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   + caddc 11012  β„•0cn0 12371  β†‘π‘Ÿcrelexp 14864  t*reccrtrcl 14900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-seq 13861  df-relexp 14865  df-rtrclrec 14901
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14907
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