Theorem rtrclreclem3 14771

Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
rtrclreclem.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem3	⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem3

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 𝑚 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 5598	. . 3 ⊢ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}
2		elopab 5440	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} ↔ ∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)))
3		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩))
4	3	anbi1d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) ↔ (⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑))))
5		simprr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝜑)
6		simprl 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔))
7		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓)
8		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
9		rtrclreclem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
10	9	dfrtrclrec2 14769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
12	7, 11	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
13		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)
14		simprrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝜑)
15	9	dfrtrclrec2 14769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
17	13, 16	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
18		simprrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
21		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
26	20, 25	nn0addcld 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
27	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
29	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
31	28, 30	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛))
32		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0))
33	32	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) ↔ ((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))))))
34		simprrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝜑)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝜑)
36	35, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → Rel 𝑅)
37	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
38	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39	36, 37, 38	relexpaddd 14765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
40		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
41	40	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛))))
42	39, 41	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
43	33, 42	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
44	31, 43	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
45		simprrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
47		simprrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
52		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 𝑓 ∈ V
53		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
54		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ↔ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
55	53, 54	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) ↔ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)))
56	52, 55	spcev 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
57	46, 51, 56	syl2an2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
58		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ 𝑒 ∈ V
59		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ 𝑔 ∈ V
60	58, 59	brco 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔 ↔ ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
61	57, 60	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔)
62	44, 61	breqdi 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔)
63		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑅↑𝑟𝑖) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
64	63	breqd 5085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔 ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
65	64	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
66	62, 65	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
67	26, 66	mpancom 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
68		df-br 5075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
69	34, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → Rel 𝑅)
70	69	dfrtrclrec2 14769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
71	68, 70	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
72	67, 71	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
73	72	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
74	73	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
75	74	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
76	75	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
77	76	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
78	77	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
79	78	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
80	79	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
81	80	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
82	81	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
83	82	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
84	83	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
85	84	rexlimiv 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
86	17, 85	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
87	86	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
88	87	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
89	88	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
90	89	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
91	90	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
92	91	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
93	92	rexlimiv 3209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
94	12, 93	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
95	94	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
96	95	expcom 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
97	96	exlimdv 1936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
98	5, 6, 97	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
99		eleq1 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
100	98, 99	syl5ibr 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
101	4, 100	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
102	101	anabsi5 666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
103	102	anassrs 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
104	103	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
105	104	exlimdvv 1937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
106	2, 105	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
107		eleq2 2827	. . . . 5 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ↔ 𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}))
108	107	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → ((𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
109	106, 108	syl5ibr 245	. . 3 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
110	1, 109	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
111	110	ssrdv 3927	1 ⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  {copab 5136   ∘ ccom 5593  Rel wrel 5594  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   + caddc 10874  ℕ₀cn0 12233  ↑_𝑟crelexp 14730  t*reccrtrcl 14766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-relexp 14731  df-rtrclrec 14767

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14773