Theorem rtrclreclem3 14184

Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rtrclreclem.rel	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
rtrclreclem.rex	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem3	⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem3

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 𝑚 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 5355	. . 3 ⊢ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}
2		elopab 5211	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} ↔ ∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)))
3		eqeq1 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩))
4	3	anbi1d 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) ↔ (⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑))))
5		simprr 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝜑)
6		simprl 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔))
7		simpl 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓)
8		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
9		rtrclreclem.rel	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
10		rtrclreclem.rex	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
11	9, 10	dfrtrclrec2 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
13	7, 12	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
14		simprl 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)
15		simprrl 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝜑)
16	9, 10	dfrtrclrec2 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
18	14, 17	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
19		simprrl 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
21	20	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
22		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
24	23	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
27	21, 26	nn0addcld 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
28	21	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
30	26	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
32	29, 31	addcomd 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛))
33		eleq1 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0))
34	33	anbi1d 623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) ↔ ((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))))))
35	26	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36	21	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37		simprrl 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝜑)
38	37	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝜑)
39	38, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → Rel 𝑅)
40	38, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑅 ∈ V)
41	39, 40	relexpaddd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛))))
42	35, 36, 41	mp2and 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
43		oveq2 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
44	43	eqeq2d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛))))
45	42, 44	syl5ibr 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
46	34, 45	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
47	32, 46	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
48	47	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
49		simprrl 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
50	49	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
51	50	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
52		simprrl 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
53	52	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
54	53	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
55	54	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
56	55	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
57		vex 3417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ 𝑓 ∈ V
58		breq2 4879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
59		breq1 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ↔ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
60	58, 59	anbi12d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) ↔ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)))
61	57, 60	spcev 3517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
62	51, 56, 61	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
63		vex 3417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 𝑒 ∈ V
64		vex 3417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 𝑔 ∈ V
65	63, 64	brco 5529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔 ↔ ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
66	62, 65	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔)
67		breq 4877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) → (𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔 ↔ 𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔))
68	66, 67	syl5ibr 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
69	48, 68	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔)
70		oveq2 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑅↑𝑟𝑖) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
71	70	breqd 4886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔 ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
72	71	rspcev 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
73	69, 72	syldan 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
74	27, 73	mpancom 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
75		df-br 4876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
76	37, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → Rel 𝑅)
77	37, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑅 ∈ V)
78	76, 77	dfrtrclrec2 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
79	75, 78	syl5bbr 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
80	74, 79	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
81	80	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
82	81	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
83	82	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
84	83	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
85	84	impcom 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
86	85	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
87	86	impcom 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
88	87	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
89	88	impcom 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
90	89	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
91	90	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
92	91	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
93	92	rexlimiv 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
94	18, 93	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
95	94	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
96	95	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
97	96	impcom 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
98	97	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
99	98	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
100	99	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
101	100	rexlimiv 3236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
102	13, 101	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
103	102	anassrs 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
104	103	expcom 404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
105	104	exlimdv 2032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
106	5, 6, 105	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
107		eleq1 2894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
108	106, 107	syl5ibr 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
109	4, 108	sylbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
110	109	anabsi5 659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
111	110	anassrs 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
112	111	expcom 404	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
113	112	exlimdvv 2033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
114	2, 113	syl5bi 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
115		eleq2 2895	. . . . 5 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ↔ 𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}))
116	115	imbi1d 333	. . . 4 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → ((𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
117	114, 116	syl5ibr 238	. . 3 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
118	1, 117	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
119	118	ssrdv 3833	1 ⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  {copab 4937   ∘ ccom 5350  Rel wrel 5351  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   + caddc 10262  ℕ₀cn0 11625  ↑_𝑟crelexp 14144  t*reccrtrcl 14179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-relexp 14145  df-rtrclrec 14180

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14186