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Theorem rtrclreclem3 14409
Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.rel (𝜑 → Rel 𝑅)
rtrclreclem.rex (𝜑𝑅 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem3 (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem3
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-co 5563 . . 3 ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}
2 elopab 5411 . . . . 5 (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} ↔ ∃𝑒𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)))
3 eqeq1 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩))
43anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) ↔ (⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑))))
5 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝜑)
6 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔))
7 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → 𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓)
8 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → 𝜑)
9 rtrclreclem.rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Rel 𝑅)
10 rtrclreclem.rex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑅 ∈ V)
119, 10dfrtrclrec2 14406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
137, 12mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
14 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)
15 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝜑)
169, 10dfrtrclrec2 14406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
1814, 17mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
19 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
22 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2721, 26nn0addcld 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
2821adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
3026adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
3229, 31addcomd 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛))
33 eleq1 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0))
3433anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) ↔ ((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))))))
3526adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3621adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝜑)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝜑)
3938, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → Rel 𝑅)
4038, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑅 ∈ V)
4139, 40relexpaddd 14403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛))))
4235, 36, 41mp2and 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛)))
43 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛)))
4443eqeq2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) ↔ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛))))
4542, 44syl5ibr 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))))
4634, 45sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))))
4732, 46mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)))
48 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
50 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
55 vex 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑓 ∈ V
56 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ( = 𝑓 → (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
57 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ( = 𝑓 → ((𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
5856, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ( = 𝑓 → ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔) ↔ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)))
5955, 58spcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔) → ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
6049, 54, 59syl2an2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
61 vex 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑒 ∈ V
62 vex 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑔 ∈ V
6361, 62brco 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑒((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛))𝑔 ↔ ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
6460, 63sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛))𝑔)
6547, 64breqdi 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔)
66 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑅𝑟𝑖) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)))
6766breqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
6867rspcev 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
6965, 68syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
7027, 69mpancom 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
71 df-br 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
7237, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → Rel 𝑅)
7337, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑅 ∈ V)
7472, 73dfrtrclrec2 14406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔))
7571, 74syl5bbr 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔))
7670, 75mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
7776expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
7877expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
7978expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
8079anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
8180impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
8281anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
8382impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8483anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8584impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
8685anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
8786expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8887expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
8988rexlimiv 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9018, 89mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9190expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9291anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9392impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9493anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9594expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9695expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
9796rexlimiv 3285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9813, 97mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9998anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
10099expcom 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
101100exlimdv 1927 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
1025, 6, 101sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
103 eleq1 2905 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
104102, 103syl5ibr 247 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
1054, 104sylbid 241 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
106105anabsi5 665 . . . . . . . 8 ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
107106anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
108107expcom 414 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
109108exlimdvv 1928 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑒𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
1102, 109syl5bi 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
111 eleq2 2906 . . . . 5 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ↔ 𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}))
112111imbi1d 343 . . . 4 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → ((𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
113110, 112syl5ibr 247 . . 3 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
1141, 113ax-mp 5 . 2 (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
115114ssrdv 3977 1 (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wrex 3144  Vcvv 3500  wss 3940  cop 4570   class class class wbr 5063  {copab 5125  ccom 5558  Rel wrel 5559  cfv 6352  (class class class)co 7148   + caddc 10529  0cn0 11886  𝑟crelexp 14369  t*reccrtrcl 14404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-seq 13360  df-relexp 14370  df-rtrclrec 14405
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14411
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