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Theorem rtrclreclem3 14472
 Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem.1 (𝜑 → Rel 𝑅)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem3 (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem3
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-co 5536 . . 3 ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}
2 elopab 5387 . . . . 5 (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} ↔ ∃𝑒𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)))
3 eqeq1 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩))
43anbi1d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) ↔ (⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑))))
5 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝜑)
6 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔))
7 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → 𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓)
8 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → 𝜑)
9 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Rel 𝑅)
109dfrtrclrec2 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
127, 11mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
13 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)
14 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝜑)
159dfrtrclrec2 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
1713, 16mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
18 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1918adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2019adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2221adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2322adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2423adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2524adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2620, 25nn0addcld 12003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
2720adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
2925adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
3128, 30addcomd 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛))
32 eleq1 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0))
3332anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) ↔ ((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))))))
34 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝜑)
3534adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝜑)
3635, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → Rel 𝑅)
3725adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3820adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3936, 37, 38relexpaddd 14466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛)))
40 oveq2 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛)))
4140eqeq2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) ↔ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛))))
4239, 41syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))))
4333, 42sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))))
4431, 43mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)))
45 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
4645adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
47 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
4847adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
4948adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5049adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5150adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
52 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑓 ∈ V
53 breq2 5039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ( = 𝑓 → (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
54 breq1 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ( = 𝑓 → ((𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
5553, 54anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ( = 𝑓 → ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔) ↔ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)))
5652, 55spcev 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔) → ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
5746, 51, 56syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
58 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑒 ∈ V
59 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑔 ∈ V
6058, 59brco 5715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑒((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛))𝑔 ↔ ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
6157, 60sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛))𝑔)
6244, 61breqdi 5050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔)
63 oveq2 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑅𝑟𝑖) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)))
6463breqd 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
6564rspcev 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
6662, 65syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
6726, 66mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
68 df-br 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
6934, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → Rel 𝑅)
7069dfrtrclrec2 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔))
7168, 70bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔))
7267, 71mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
7372expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
7473expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
7574expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
7675anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
7776impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
7877anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
7978impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8079anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8180impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
8281anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
8382expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8483expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
8584rexlimiv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8617, 85mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
8786expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8887anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8988impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9089anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9190expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9291expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
9392rexlimiv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9412, 93mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9594anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9695expcom 417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9796exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
985, 6, 97sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
99 eleq1 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
10098, 99syl5ibr 249 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
1014, 100sylbid 243 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
102101anabsi5 668 . . . . . . . 8 ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
103102anassrs 471 . . . . . . 7 (((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
104103expcom 417 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
105104exlimdvv 1935 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑒𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
1062, 105syl5bi 245 . . . 4 (𝜑 → (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
107 eleq2 2840 . . . . 5 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ↔ 𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}))
108107imbi1d 345 . . . 4 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → ((𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
109106, 108syl5ibr 249 . . 3 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
1101, 109ax-mp 5 . 2 (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
111110ssrdv 3900 1 (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3860  ⟨cop 4531   class class class wbr 5035  {copab 5097   ∘ ccom 5531  Rel wrel 5532  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   + caddc 10583  ℕ0cn0 11939  ↑𝑟crelexp 14431  t*reccrtrcl 14467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-seq 13424  df-relexp 14432  df-rtrclrec 14468 This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14474
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