MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaco 5784
Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
imaco ((𝐴𝐵) “ 𝐶) = (𝐴 “ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem imaco
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 3067 . . 3 (∃𝑦 ∈ (𝐵𝐶)𝑦𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥))
2 vex 3354 . . . 4 𝑥 ∈ V
32elima 5612 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 “ (𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵𝐶)𝑦𝐴𝑥)
4 rexcom4 3377 . . . . 5 (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
5 r19.41v 3237 . . . . . 6 (∃𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
65exbii 1924 . . . . 5 (∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
74, 6bitri 264 . . . 4 (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
82elima 5612 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶 𝑧(𝐴𝐵)𝑥)
9 vex 3354 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
109, 2brco 5431 . . . . . 6 (𝑧(𝐴𝐵)𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
1110rexbii 3189 . . . . 5 (∃𝑧𝐶 𝑧(𝐴𝐵)𝑥 ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
128, 11bitri 264 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
13 vex 3354 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1413elima 5612 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦)
1514anbi1i 610 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
1615exbii 1924 . . . 4 (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
177, 12, 163bitr4i 292 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥))
181, 3, 173bitr4ri 293 . 2 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 “ (𝐵𝐶)))
1918eqriv 2768 1 ((𝐴𝐵) “ 𝐶) = (𝐴 “ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  cima 5252  ccom 5253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-br 4787  df-opab 4847  df-xp 5255  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262
This theorem is referenced by:  fvco2  6415  supp0cosupp0  7486  imacosupp  7487  fipreima  8428  fsuppcolem  8462  psgnunilem1  18120  gsumzf1o  18520  dprdf1o  18639  frlmup3  20356  f1lindf  20378  lindfmm  20383  cnco  21291  cnpco  21292  ptrescn  21663  xkoco1cn  21681  xkoco2cn  21682  xkococnlem  21683  qtopcn  21738  fmco  21985  uniioombllem3  23573  cncombf  23645  deg1val  24076  ofpreima  29805  mbfmco  30666  eulerpartlemmf  30777  erdsze2lem2  31524  cvmliftmolem1  31601  cvmlift2lem9a  31623  cvmlift2lem9  31631  mclsppslem  31818  poimirlem15  33757  poimirlem16  33758  poimirlem19  33761  cnambfre  33790  ftc1anclem3  33819  trclimalb2  38544  brtrclfv2  38545  frege97d  38570  frege109d  38575  frege131d  38582  extoimad  38990  imo72b2lem0  38991  imo72b2lem2  38993  imo72b2lem1  38997  imo72b2  39001  limccog  40370  smfco  41529
  Copyright terms: Public domain W3C validator