MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaco 6251
Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
imaco ((𝐴𝐵) “ 𝐶) = (𝐴 “ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem imaco
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 3072 . . 3 (∃𝑦 ∈ (𝐵𝐶)𝑦𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥))
2 vex 3479 . . . 4 𝑥 ∈ V
32elima 6065 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 “ (𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵𝐶)𝑦𝐴𝑥)
4 rexcom4 3286 . . . . 5 (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
5 r19.41v 3189 . . . . . 6 (∃𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
65exbii 1851 . . . . 5 (∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
74, 6bitri 275 . . . 4 (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
82elima 6065 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶 𝑧(𝐴𝐵)𝑥)
9 vex 3479 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
109, 2brco 5871 . . . . . 6 (𝑧(𝐴𝐵)𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
1110rexbii 3095 . . . . 5 (∃𝑧𝐶 𝑧(𝐴𝐵)𝑥 ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
128, 11bitri 275 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
13 vex 3479 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1413elima 6065 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦)
1514anbi1i 625 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
1615exbii 1851 . . . 4 (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
177, 12, 163bitr4i 303 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥))
181, 3, 173bitr4ri 304 . 2 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 “ (𝐵𝐶)))
1918eqriv 2730 1 ((𝐴𝐵) “ 𝐶) = (𝐴 “ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5149  cima 5680  ccom 5681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2155  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690
This theorem is referenced by:  fvco2  6989  suppco  8191  fipreima  9358  fsuppcolem  9396  psgnunilem1  19361  gsumzf1o  19780  dprdf1o  19902  frlmup3  21355  f1lindf  21377  lindfmm  21382  cnco  22770  cnpco  22771  ptrescn  23143  xkoco1cn  23161  xkoco2cn  23162  xkococnlem  23163  qtopcn  23218  fmco  23465  uniioombllem3  25102  cncombf  25175  deg1val  25614  ofpreima  31890  mbfmco  33263  eulerpartlemmf  33374  erdsze2lem2  34195  cvmliftmolem1  34272  cvmlift2lem9a  34294  cvmlift2lem9  34302  mclsppslem  34574  bj-imdirco  36071  poimirlem15  36503  poimirlem16  36504  poimirlem19  36507  cnambfre  36536  ftc1anclem3  36563  trclimalb2  42477  brtrclfv2  42478  frege97d  42503  frege109d  42508  frege131d  42515  extoimad  42916  imo72b2lem0  42917  imo72b2lem2  42919  imo72b2lem1  42921  imo72b2  42924  limccog  44336  smfco  45518  afv2co2  45965  isomgrtrlem  46506
  Copyright terms: Public domain W3C validator