MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaco 5854
Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
imaco ((𝐴𝐵) “ 𝐶) = (𝐴 “ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem imaco
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 3102 . . 3 (∃𝑦 ∈ (𝐵𝐶)𝑦𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥))
2 vex 3394 . . . 4 𝑥 ∈ V
32elima 5681 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 “ (𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵𝐶)𝑦𝐴𝑥)
4 rexcom4 3419 . . . . 5 (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
5 r19.41v 3277 . . . . . 6 (∃𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
65exbii 1933 . . . . 5 (∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
74, 6bitri 266 . . . 4 (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
82elima 5681 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶 𝑧(𝐴𝐵)𝑥)
9 vex 3394 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
109, 2brco 5494 . . . . . 6 (𝑧(𝐴𝐵)𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
1110rexbii 3229 . . . . 5 (∃𝑧𝐶 𝑧(𝐴𝐵)𝑥 ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
128, 11bitri 266 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
13 vex 3394 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1413elima 5681 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ ∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦)
1514anbi1i 612 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
1615exbii 1933 . . . 4 (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧𝐵𝑦𝑦𝐴𝑥))
177, 12, 163bitr4i 294 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦𝐴𝑥))
181, 3, 173bitr4ri 295 . 2 (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵) “ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 “ (𝐵𝐶)))
1918eqriv 2803 1 ((𝐴𝐵) “ 𝐶) = (𝐴 “ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  wrex 3097   class class class wbr 4844  cima 5314  ccom 5315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5096
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-br 4845  df-opab 4907  df-xp 5317  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324
This theorem is referenced by:  fvco2  6494  supp0cosupp0  7569  imacosupp  7570  fipreima  8511  fsuppcolem  8545  psgnunilem1  18114  gsumzf1o  18514  dprdf1o  18633  frlmup3  20349  f1lindf  20371  lindfmm  20376  cnco  21284  cnpco  21285  ptrescn  21656  xkoco1cn  21674  xkoco2cn  21675  xkococnlem  21676  qtopcn  21731  fmco  21978  uniioombllem3  23566  cncombf  23639  deg1val  24070  ofpreima  29792  mbfmco  30651  eulerpartlemmf  30762  erdsze2lem2  31509  cvmliftmolem1  31586  cvmlift2lem9a  31608  cvmlift2lem9  31616  mclsppslem  31803  poimirlem15  33737  poimirlem16  33738  poimirlem19  33741  cnambfre  33770  ftc1anclem3  33799  trclimalb2  38518  brtrclfv2  38519  frege97d  38544  frege109d  38549  frege131d  38556  extoimad  38964  imo72b2lem0  38965  imo72b2lem2  38967  imo72b2lem1  38971  imo72b2  38975  limccog  40332  smfco  41491  afv2co2  41846
  Copyright terms: Public domain W3C validator