Theorem brsuccf 36183

Description: Binary relation form of the Succ function. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brsuccf.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brsuccf.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brsuccf	⊢ (𝐴Succ𝐵 ↔ 𝐵 = suc 𝐴)

Proof of Theorem brsuccf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-succf 36113	. . 3 ⊢ Succ = (Cup ∘ ( I ⊗ Singleton))
2	1	breqi 5081	. 2 ⊢ (𝐴Succ𝐵 ↔ 𝐴(Cup ∘ ( I ⊗ Singleton))𝐵)
3		brsuccf.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		brsuccf.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	3, 4	brco 5815	. 2 ⊢ (𝐴(Cup ∘ ( I ⊗ Singleton))𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴( I ⊗ Singleton)𝑥 ∧ 𝑥Cup𝐵))
6	3, 4	lemsuccf 36182	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴( I ⊗ Singleton)𝑥 ∧ 𝑥Cup𝐵) ↔ 𝐵 = suc 𝐴)
7	2, 5, 6	3bitri 299	1 ⊢ (𝐴Succ𝐵 ↔ 𝐵 = suc 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   class class class wbr 5075   I cid 5515   ∘ ccom 5625  suc csuc 6316   ⊗ ctxp 36071  Singletoncsingle 36079  Cupccup 36087  Succcsuccf 36089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-symdif 4184  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-eprel 5521  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fo 6495  df-fv 6497  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-txp 36095  df-singleton 36103  df-cup 36110  df-succf 36113

This theorem is referenced by:  dfrdg4  36194