Theorem imasleval 17591

Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)
imasleval.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasleval.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))

Assertion

Ref	Expression
imasleval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑, ≤   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑌,𝑑   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   ≤ (𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑍(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑋))
2	1	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑)))
3		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑑))
4	2, 3	bibi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
5	4	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑌))
7	6	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
8		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝑋𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑌))
9	7, 8	bibi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
10	9	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))))
11		imasless.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12		fofn 6792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	fndmd 6638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → dom 𝐹 = 𝑉)
16	15	rexeqdv 3330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
17		fnbrfvb 6929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
18	14, 17	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
19	18	anbi1d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
20		ancom 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
21		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
22		fvex 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘𝑑) ∈ V
23	21, 22	breldm 5896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
25	24	pm4.71ri 569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
26	20, 25	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
27	26	exbii 1875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
28		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑎 ∈ V
29	28, 22	brco 5854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
30		df-rex 3096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
31	27, 29, 30	3bitr4i 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
32	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → 𝐹 Fn 𝑉)
33		fnbrfvb 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
34	32, 33	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
35	34	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
36		imasleval.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
37	36	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
38	37	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
39	38	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
40	39	impl 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑))
41	40	pm5.32da 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
42	41	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
43	35, 42	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
44	43	rexbidva 3193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
45		r19.41v 3201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
46	44, 45	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
47	15	rexeqdv 3330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
48	47	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
49		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑑 ∈ 𝑉)
50		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)
51		fveqeq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)))
52	51	rspcev 3590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
53	49, 50, 52	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
54	53	biantrurd 541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
55	54	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
56	46, 48, 55	3bitr4d 314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
57	31, 56	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
58	57	pm5.32da 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
59	19, 58	bitr3d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
60	59	rexbidva 3193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
61	16, 60	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
62		fvex 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
63	62, 28	brcnv 5866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐))
64	63	anbi1i 635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
65	28, 62	breldm 5896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
66	65	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
67	66	pm4.71ri 569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
68	64, 67	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
69	68	exbii 1875	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
70	62, 22	brco 5854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
71		df-rex 3096	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
72	69, 70, 71	3bitr4ri 307	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑))
73		r19.41v 3201	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
74	61, 72, 73	3bitr3g 316	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
75		imasless.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
76		imasless.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
77		imasless.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
78		imasleval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
79		imasless.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
80	75, 76, 11, 77, 78, 79	imasle 17573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
81	80	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
82	81	breqd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑)))
83		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑐 ∈ 𝑉)
84		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)
85		fveqeq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)))
86	85	rspcev 3590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
87	83, 84, 86	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
88	87	biantrurd 541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
89	74, 82, 88	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
90	89	expcom 418	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
91	5, 10, 90	vtocl2ga 3551	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
92	91	com12 33	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
93	92	3impib 1132	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6528  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  lecple 17313   “_s cimas 17554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-imas 17558

This theorem is referenced by:  xpsle  17629