Theorem imasleval 17511

Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)
imasleval.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasleval.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))

Assertion

Ref	Expression
imasleval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑, ≤   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑌,𝑑   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   ≤ (𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑍(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑋))
2	1	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑)))
3		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑑))
4	2, 3	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑌))
7	6	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
8		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝑋𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑌))
9	7, 8	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))))
11		imasless.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12		fofn 6777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	fndmd 6626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → dom 𝐹 = 𝑉)
16	15	rexeqdv 3302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
17		fnbrfvb 6914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
18	14, 17	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
19	18	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
20		ancom 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
21		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
22		fvex 6874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘𝑑) ∈ V
23	21, 22	breldm 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
25	24	pm4.71ri 560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
26	20, 25	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
27	26	exbii 1848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
28		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑎 ∈ V
29	28, 22	brco 5837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
30		df-rex 3055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
31	27, 29, 30	3bitr4i 303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
32	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → 𝐹 Fn 𝑉)
33		fnbrfvb 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
34	32, 33	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
35	34	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
36		imasleval.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
37	36	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
38	37	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
39	38	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
40	39	impl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑))
41	40	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
42	41	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
43	35, 42	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
44	43	rexbidva 3156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
45		r19.41v 3168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
46	44, 45	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
47	15	rexeqdv 3302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
49		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑑 ∈ 𝑉)
50		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)
51		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)))
52	51	rspcev 3591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
53	49, 50, 52	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
54	53	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
56	46, 48, 55	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
57	31, 56	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
58	57	pm5.32da 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
59	19, 58	bitr3d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
60	59	rexbidva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
61	16, 60	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
62		fvex 6874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
63	62, 28	brcnv 5849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐))
64	63	anbi1i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
65	28, 62	breldm 5875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
67	66	pm4.71ri 560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
68	64, 67	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
69	68	exbii 1848	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
70	62, 22	brco 5837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
71		df-rex 3055	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
72	69, 70, 71	3bitr4ri 304	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑))
73		r19.41v 3168	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
74	61, 72, 73	3bitr3g 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
75		imasless.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
76		imasless.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
77		imasless.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
78		imasleval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
79		imasless.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
80	75, 76, 11, 77, 78, 79	imasle 17493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
81	80	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
82	81	breqd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑)))
83		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑐 ∈ 𝑉)
84		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)
85		fveqeq2 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)))
86	85	rspcev 3591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
87	83, 84, 86	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
88	87	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
89	74, 82, 88	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
90	89	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
91	5, 10, 90	vtocl2ga 3547	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
92	91	com12 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
93	92	3impib 1116	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  –onto→wfo 6512  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234   “_s cimas 17474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-imas 17478

This theorem is referenced by:  xpsle  17549