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Theorem imasleval 17487
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasless.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasless.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasless.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l ≀ = (leβ€˜π‘ˆ)
imasleval.n 𝑁 = (leβ€˜π‘…)
imasleval.e ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
Assertion
Ref Expression
imasleval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑, ≀   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   π‘Œ,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   π‘ˆ(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   ≀ (π‘Ž,𝑏)   𝑋(π‘Ž,𝑏)   π‘Œ(π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑍(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‹))
21breq1d 5159 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
3 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑑))
42, 3bibi12d 346 . . . . 5 (𝑐 = 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
54imbi2d 341 . . . 4 (𝑐 = 𝑋 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘Œ))
76breq2d 5161 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
8 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Œ β†’ (𝑋𝑁𝑑 ↔ π‘‹π‘π‘Œ))
97, 8bibi12d 346 . . . . 5 (𝑑 = π‘Œ β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ)))
109imbi2d 341 . . . 4 (𝑑 = π‘Œ β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ))))
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
12 fofn 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
1413adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
1514fndmd 6655 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
1615rexeqdv 3327 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
17 fnbrfvb 6945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘)))
1814, 17sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘)))
1918anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
20 ancom 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘))
21 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
22 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V
2321, 22breldm 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2524pm4.71ri 562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
2620, 25bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
2726exbii 1851 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘(π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
28 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Ž ∈ V
2928, 22brco 5871 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘(π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)))
30 df-rex 3072 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
3127, 29, 303bitr4i 303 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘))
3214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
33 fnbrfvb 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)))
3432, 33sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)))
3534anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
36 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
37363expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
3837an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
3938anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
4039impl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑))
4140pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4241an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4335, 42bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4443rexbidva 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
45 r19.41v 3189 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
4644, 45bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4715rexeqdv 3327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
49 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
50 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘)
51 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘)))
5251rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘))
5349, 50, 52sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘))
5453biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5646, 48, 553bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5731, 56bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5857pm5.32da 580 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5919, 58bitr3d 281 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6059rexbidva 3177 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6116, 60bitrd 279 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
62 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (πΉβ€˜π‘) ∈ V
6362, 28brcnv 5883 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ↔ π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘))
6463anbi1i 625 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)))
6528, 62breldm 5909 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž ∈ dom 𝐹)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ π‘Ž ∈ dom 𝐹)
6766pm4.71ri 562 . . . . . . . . . 10 ((π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
6864, 67bitri 275 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
6968exbii 1851 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
7062, 22brco 5871 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘Ž((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)))
71 df-rex 3072 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
7269, 70, 713bitr4ri 304 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘))
73 r19.41v 3189 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
7461, 72, 733bitr3g 313 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
75 imasless.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
76 imasless.v . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
77 imasless.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
78 imasleval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (leβ€˜π‘…)
79 imasless.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜π‘ˆ)
8075, 76, 11, 77, 78, 79imasle 17469 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ≀ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹))
8180adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ≀ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹))
8281breqd 5160 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘)))
83 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
84 eqid 2733 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)
85 fveqeq2 6901 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)))
8685rspcev 3613 . . . . . . . 8 ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))
8783, 84, 86sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))
8887biantrurd 534 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
8974, 82, 883bitr4d 311 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
9089expcom 415 . . . 4 ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
915, 10, 90vtocl2ga 3567 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ)))
9291com12 32 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ)))
93923impib 1117 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204   β€œs cimas 17450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-imas 17454
This theorem is referenced by:  xpsle  17525
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