Theorem imasleval 17462

Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)
imasleval.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasleval.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))

Assertion

Ref	Expression
imasleval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑, ≤   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑌,𝑑   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   ≤ (𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑍(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑋))
2	1	breq1d 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑)))
3		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑑))
4	2, 3	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑌))
7	6	breq2d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
8		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (𝑋𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑌))
9	7, 8	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → (((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑌 → ((𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))))
11		imasless.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12		fofn 6748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	fndmd 6597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → dom 𝐹 = 𝑉)
16	15	rexeqdv 3297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
17		fnbrfvb 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
18	14, 17	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐)))
19	18	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
20		ancom 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
21		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
22		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘𝑑) ∈ V
23	21, 22	breldm 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
25	24	pm4.71ri 560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
26	20, 25	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
27	26	exbii 1849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
28		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑎 ∈ V
29	28, 22	brco 5819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏(𝑎𝑁𝑏 ∧ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
30		df-rex 3061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
31	27, 29, 30	3bitr4i 303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
32	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → 𝐹 Fn 𝑉)
33		fnbrfvb 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
34	32, 33	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹‘𝑑)))
35	34	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
36		imasleval.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
37	36	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
38	37	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
39	38	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
40	39	impl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏 ↔ 𝑐𝑁𝑑))
41	40	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
42	41	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
43	35, 42	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
44	43	rexbidva 3158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
45		r19.41v 3166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
46	44, 45	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
47	15	rexeqdv 3297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
49		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑑 ∈ 𝑉)
50		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)
51		fveqeq2 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)))
52	51	rspcev 3576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
53	49, 50, 52	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
54	53	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
56	46, 48, 55	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹‘𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
57	31, 56	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐)) → (𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
58	57	pm5.32da 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
59	19, 58	bitr3d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
60	59	rexbidva 3158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
61	16, 60	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
62		fvex 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
63	62, 28	brcnv 5831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ↔ 𝑎𝐹(𝐹‘𝑐))
64	63	anbi1i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
65	28, 62	breldm 5857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
67	66	pm4.71ri 560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
68	64, 67	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
69	68	exbii 1849	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
70	62, 22	brco 5819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ ∃𝑎((𝐹‘𝑐)◡𝐹𝑎 ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)))
71		df-rex 3061	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑))))
72	69, 70, 71	3bitr4ri 304	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹‘𝑐) ∧ 𝑎(𝐹 ∘ 𝑁)(𝐹‘𝑑)) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑))
73		r19.41v 3166	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
74	61, 72, 73	3bitr3g 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
75		imasless.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
76		imasless.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
77		imasless.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
78		imasleval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
79		imasless.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
80	75, 76, 11, 77, 78, 79	imasle 17444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
81	80	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
82	81	breqd 5109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ (𝐹‘𝑐)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)(𝐹‘𝑑)))
83		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑐 ∈ 𝑉)
84		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)
85		fveqeq2 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)))
86	85	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝑐)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
87	83, 84, 86	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
88	87	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
89	74, 82, 88	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
90	89	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
91	5, 10, 90	vtocl2ga 3533	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
92	91	com12 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
93	92	3impib 1116	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184   “_s cimas 17425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-imas 17429

This theorem is referenced by:  xpsle  17500