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Theorem imasleval 17423
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasless.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasless.r (𝜑𝑅𝑍)
imasless.l = (le‘𝑈)
imasleval.n 𝑁 = (le‘𝑅)
imasleval.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
Assertion
Ref Expression
imasleval ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑌,𝑑   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   (𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑍(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑋))
21breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑑)))
3 breq1 5108 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑁𝑑𝑋𝑁𝑑))
42, 3bibi12d 345 . . . . 5 (𝑐 = 𝑋 → (((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
54imbi2d 340 . . . 4 (𝑐 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑌 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑌))
76breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
8 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑌 → (𝑋𝑁𝑑𝑋𝑁𝑌))
97, 8bibi12d 345 . . . . 5 (𝑑 = 𝑌 → (((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑑 = 𝑌 → ((𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))))
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
12 fofn 6758 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
1514fndmd 6607 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → dom 𝐹 = 𝑉)
1615rexeqdv 3314 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
17 fnbrfvb 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝑉𝑎𝑉) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹𝑐)))
1814, 17sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹𝑐)))
1918anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
20 ancom 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
21 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
22 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝑑) ∈ V
2321, 22breldm 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2524pm4.71ri 561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
2620, 25bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
2726exbii 1850 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏(𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
28 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 ∈ V
2928, 22brco 5826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑏(𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
30 df-rex 3074 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
3127, 29, 303bitr4i 302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
3214ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → 𝐹 Fn 𝑉)
33 fnbrfvb 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉𝑏𝑉) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
3432, 33sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
3534anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
36 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
37363expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
3837an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
3938anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
4039impl 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑))
4140pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4241an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4335, 42bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4443rexbidva 3173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
45 r19.41v 3185 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑏𝑉 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
4644, 45bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4715rexeqdv 3314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
4847ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
49 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑑𝑉)
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)
51 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)))
5251rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝑉 ∧ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)) → ∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5349, 50, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5453biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5646, 48, 553bitr4d 310 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5731, 56bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5857pm5.32da 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5919, 58bitr3d 280 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6059rexbidva 3173 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎𝑉 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6116, 60bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
62 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑐) ∈ V
6362, 28brcnv 5838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎𝐹(𝐹𝑐))
6463anbi1i 624 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)))
6528, 62breldm 5864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
6766pm4.71ri 561 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
6864, 67bitri 274 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
6968exbii 1850 . . . . . . . 8 (∃𝑎((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7062, 22brco 5826 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑎((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)))
71 df-rex 3074 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7269, 70, 713bitr4ri 303 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑))
73 r19.41v 3185 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
7461, 72, 733bitr3g 312 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
75 imasless.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
76 imasless.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
77 imasless.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑍)
78 imasleval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (le‘𝑅)
79 imasless.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝑈)
8075, 76, 11, 77, 78, 79imasle 17405 . . . . . . . 8 (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
8180adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
8281breqd 5116 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑)))
83 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑐𝑉)
84 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)
85 fveqeq2 6851 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)))
8685rspcev 3581 . . . . . . . 8 ((𝑐𝑉 ∧ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)) → ∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
8783, 84, 86sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
8887biantrurd 533 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
8974, 82, 883bitr4d 310 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
9089expcom 414 . . . 4 ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝜑 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
915, 10, 90vtocl2ga 3535 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
9291com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
93923impib 1116 1 ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3073   class class class wbr 5105  ccnv 5632  dom cdm 5633  ccom 5637   Fn wfn 6491  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  s cimas 17386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-imas 17390
This theorem is referenced by:  xpsle  17461
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