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Theorem imasleval 17424
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasless.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasless.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasless.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l ≀ = (leβ€˜π‘ˆ)
imasleval.n 𝑁 = (leβ€˜π‘…)
imasleval.e ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
Assertion
Ref Expression
imasleval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑, ≀   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   π‘Œ,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   π‘ˆ(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   ≀ (π‘Ž,𝑏)   𝑋(π‘Ž,𝑏)   π‘Œ(π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑍(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‹))
21breq1d 5116 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
3 breq1 5109 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ 𝑋𝑁𝑑))
42, 3bibi12d 346 . . . . 5 (𝑐 = 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
54imbi2d 341 . . . 4 (𝑐 = 𝑋 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘Œ))
76breq2d 5118 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
8 breq2 5110 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Œ β†’ (𝑋𝑁𝑑 ↔ π‘‹π‘π‘Œ))
97, 8bibi12d 346 . . . . 5 (𝑑 = π‘Œ β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ)))
109imbi2d 341 . . . 4 (𝑑 = π‘Œ β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ))))
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
12 fofn 6759 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
1413adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
1514fndmd 6608 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
1615rexeqdv 3315 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
17 fnbrfvb 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘)))
1814, 17sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘)))
1918anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
20 ancom 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘))
21 vex 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
22 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V
2321, 22breldm 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2524pm4.71ri 562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
2620, 25bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
2726exbii 1851 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘(π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
28 vex 3450 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Ž ∈ V
2928, 22brco 5827 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘(π‘Žπ‘π‘ ∧ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)))
30 df-rex 3075 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
3127, 29, 303bitr4i 303 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘))
3214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
33 fnbrfvb 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)))
3432, 33sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘)))
3534anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
36 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
37363expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
3837an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
3938anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
4039impl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (π‘Žπ‘π‘ ↔ 𝑐𝑁𝑑))
4140pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4241an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4335, 42bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4443rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
45 r19.41v 3186 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
4644, 45bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4715rexeqdv 3315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘)))
49 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
50 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘)
51 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘)))
5251rspcev 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘))
5349, 50, 52sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘))
5453biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5646, 48, 553bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(πΉβ€˜π‘‘) ∧ π‘Žπ‘π‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5731, 56bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5857pm5.32da 580 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5919, 58bitr3d 281 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6059rexbidva 3174 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6116, 60bitrd 279 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
62 fvex 6856 . . . . . . . . . . . 12 (πΉβ€˜π‘) ∈ V
6362, 28brcnv 5839 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ↔ π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘))
6463anbi1i 625 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)))
6528, 62breldm 5865 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž ∈ dom 𝐹)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ π‘Ž ∈ dom 𝐹)
6766pm4.71ri 562 . . . . . . . . . 10 ((π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
6864, 67bitri 275 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
6968exbii 1851 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
7062, 22brco 5827 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘Ž((πΉβ€˜π‘)β—‘πΉπ‘Ž ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)))
71 df-rex 3075 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘))))
7269, 70, 713bitr4ri 304 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝐹(π‘ŽπΉ(πΉβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(𝐹 ∘ 𝑁)(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘))
73 r19.41v 3186 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
7461, 72, 733bitr3g 313 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
75 imasless.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
76 imasless.v . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
77 imasless.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
78 imasleval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (leβ€˜π‘…)
79 imasless.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜π‘ˆ)
8075, 76, 11, 77, 78, 79imasle 17406 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ≀ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹))
8180adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ≀ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹))
8281breqd 5117 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘)((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◑𝐹)(πΉβ€˜π‘‘)))
83 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
84 eqid 2737 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)
85 fveqeq2 6852 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)))
8685rspcev 3582 . . . . . . . 8 ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))
8783, 84, 86sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))
8887biantrurd 534 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑐𝑁𝑑 ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
8974, 82, 883bitr4d 311 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
9089expcom 415 . . . 4 ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
915, 10, 90vtocl2ga 3536 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ)))
9291com12 32 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ)))
93923impib 1117 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ) ↔ π‘‹π‘π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141   β€œs cimas 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-imas 17391
This theorem is referenced by:  xpsle  17462
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