Theorem brwdom3i 9272

Description: Weak dominance implies existence of a covering function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3i	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brwdom3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9255	. . . 4 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex1i 5634	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
3	1	brrelex2i 5635	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
4		brwdom3 9271	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
6	5	ibi 266	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418   ≼^* cwdom 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-wdom 9254

This theorem is referenced by:  unwdomg  9273  xpwdomg  9274