Theorem brwdom3i 9606

Description: Weak dominance implies existence of a covering function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3i	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brwdom3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9589	. . . 4 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex1i 5734	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
3	1	brrelex2i 5735	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
4		brwdom3 9605	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
6	5	ibi 267	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548   ≼^* cwdom 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-wdom 9588

This theorem is referenced by:  unwdomg  9607  xpwdomg  9608