Theorem brwdom3i 8840

Description: Weak dominance implies existence of a covering function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3i	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brwdom3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 8823	. . . 4 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex1i 5454	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
3	1	brrelex2i 5455	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
4		brwdom3 8839	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
5	2, 3, 4	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
6	5	ibi 259	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1508  ∃wex 1743   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081  ∃wrex 3082  Vcvv 3408   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185   ≼^* cwdom 8814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-wdom 8816

This theorem is referenced by:  unwdomg  8841  xpwdomg  8842