Theorem brwdom3i 9177

Description: Weak dominance implies existence of a covering function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3i	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brwdom3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9160	. . . 4 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex1i 5590	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
3	1	brrelex2i 5591	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
4		brwdom3 9176	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
5	2, 3, 4	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
6	5	ibi 270	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  Vcvv 3398   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358   ≼^* cwdom 9158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-wdom 9159

This theorem is referenced by:  unwdomg  9178  xpwdomg  9179