Theorem brwdom3 9577

Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 9576. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem brwdom3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3493	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3493	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → 𝑌 ∈ V)
3		brwdom2 9568	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋))
4	3	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋))
5		dffo3 7104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝑧–onto→𝑋 ↔ (𝑓:𝑧⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
6	5	simprbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦))
7		elpwi 4610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑌 → 𝑧 ⊆ 𝑌)
8		ssrexv 4052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑌 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑌 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
10	9	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
11	10	ralimdv 3170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
12	6, 11	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
13	12	eximdv 1921	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
14	13	rexlimdva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
15	4, 14	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
16		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑋 ∈ V)
17		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
18		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑓‘𝑦)))
19	18	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑦)))
20		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
21	20	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑓‘𝑤)))
22	21	cbvrexvw 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
23	19, 22	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤)))
24	23	cbvralvw 3235	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
25	24	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
26	25	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
27	26	r19.21bi 3249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
28	16, 17, 27	wdom2d 9575	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑋 ≼* 𝑌)
29	28	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → 𝑋 ≼* 𝑌))
30	29	exlimdv 1937	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → 𝑋 ≼* 𝑌))
31	15, 30	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
32	1, 2, 31	syl2an 597	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  ⟶wf 6540  –onto→wfo 6542  ‘cfv 6544   ≼^* cwdom 9559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-wdom 9560

This theorem is referenced by:  brwdom3i  9578