Theorem brwdom3 9540

Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 9539. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑓)

Proof of Theorem brwdom3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3476	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3476	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → 𝑌 ∈ V)
3		brwdom2 9531	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋))
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋))
5		dffo3 7097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝑧–onto→𝑋 ↔ (𝑓:𝑧⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
6	5	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦))
7		elpwi 4569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑌 → 𝑧 ⊆ 𝑌)
8		ssrexv 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑌 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑌 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
10	9	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
11	10	ralimdv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
12	6, 11	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
13	12	eximdv 1947	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
14	13	rexlimdva 3166	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
15	4, 14	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
16		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑋 ∈ V)
17		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
18		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑓‘𝑦)))
19	18	rexbidv 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑦)))
20		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
21	20	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑓‘𝑤)))
22	21	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
23	19, 22	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤)))
24	23	cbvralvw 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
25	24	bilani 509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
26	25	r19.21bi 3257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
27	16, 17, 26	wdom2d 9538	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑋 ≼* 𝑌)
28	27	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → 𝑋 ≼* 𝑌))
29	28	exlimdv 1963	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → 𝑋 ≼* 𝑌))
30	15, 29	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
31	1, 2, 30	syl2an 607	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536   ≼^* cwdom 9522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-wdom 9523

This theorem is used by:  brwdom3i  9541