Theorem brwdom3 9651

Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 9650. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem brwdom3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → 𝑌 ∈ V)
3		brwdom2 9642	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋))
5		dffo3 7136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝑧–onto→𝑋 ↔ (𝑓:𝑧⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
6	5	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦))
7		elpwi 4629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑌 → 𝑧 ⊆ 𝑌)
8		ssrexv 4078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑌 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑌 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
11	10	ralimdv 3175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
12	6, 11	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
13	12	eximdv 1916	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌) → (∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
14	13	rexlimdva 3161	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑌∃𝑓 𝑓:𝑧–onto→𝑋 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
15	4, 14	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
16		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑋 ∈ V)
17		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
18		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑓‘𝑦)))
19	18	rexbidv 3185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑦)))
20		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
21	20	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑓‘𝑤)))
22	21	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
23	19, 22	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤)))
24	23	cbvralvw 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
25	24	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
27	26	r19.21bi 3257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∃𝑤 ∈ 𝑌 𝑧 = (𝑓‘𝑤))
28	16, 17, 27	wdom2d 9649	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)) → 𝑋 ≼* 𝑌)
29	28	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → 𝑋 ≼* 𝑌))
30	29	exlimdv 1932	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦) → 𝑋 ≼* 𝑌))
31	15, 30	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))
32	1, 2, 31	syl2an 595	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 = (𝑓‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573   ≼^* cwdom 9633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-wdom 9634

This theorem is referenced by:  brwdom3i  9652