MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwncolg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwncolg1 28375
Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglngval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglngval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglngval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
tgcolg.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
btwncolg1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
Assertion
Ref Expression
btwncolg1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem btwncolg1
StepHypRef Expression
1 btwncolg1.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
213mix1d 1333 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 tglngval.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 tglngval.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
9 tgcolg.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tgcolg 28374 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
112, 10mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  TarskiGcstrkg 28247  Itvcitv 28253  LineGclng 28254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5421
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-trkgc 28268  df-trkgcb 28270  df-trkg 28273
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  28384  lnxfr  28386  tgbtwnconn1lem3  28394  tgbtwnconnln3  28398  legov2  28406  ncolne1  28445  tglineeltr  28451  mirtrcgr  28503  symquadlem  28509  midexlem  28512  ragflat  28524  colperpexlem1  28550  opphllem  28555
  Copyright terms: Public domain W3C validator