MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwncolg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwncolg1 26058
Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
btwncolg1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
btwncolg1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem btwncolg1
StepHypRef Expression
1 btwncolg1.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
213mix1d 1317 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 tglngval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
9 tgcolg.z . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tgcolg 26057 . 2 (𝜑 → ((𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
112, 10mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 834  w3o 1068   = wceq 1508  wcel 2051  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  TarskiGcstrkg 25933  Itvcitv 25939  LineGclng 25940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-trkgc 25951  df-trkgcb 25953  df-trkg 25956
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  26067  lnxfr  26069  tgbtwnconn1lem3  26077  tgbtwnconnln3  26081  legov2  26089  ncolne1  26128  tglineeltr  26134  mirtrcgr  26186  symquadlem  26192  midexlem  26195  ragflat  26207  colperpexlem1  26233  opphllem  26238
  Copyright terms: Public domain W3C validator