MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnxfr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnxfr 28082
Description: Transfer law for colinearity. Theorem 4.13 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglngval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglngval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglngval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
tgcolg.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
lnxfr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
lnxfr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
lnxfr.1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnxfr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
lnxfr (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐿𝐢) ∨ 𝐴 = 𝐢))
Proof of Theorem lnxfr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tglngval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 lnxfr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 lnxfr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 lnxfr.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 eqid 2730 . . . 4 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
13 lnxfr.r . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
14 tglngval.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1514adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
16 tglngval.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
1716adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
18 tgcolg.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
1918adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
20 lnxfr.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
2120adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
22 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))
231, 12, 3, 13, 5, 15, 17, 19, 7, 11, 9, 21, 22tgbtwnxfr 28046 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
241, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 23btwncolg1 28071 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐿𝐢) ∨ 𝐴 = 𝐢))
254adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
266adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
278adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2810adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2916adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
3014adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3118adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
3220adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
331, 12, 3, 13, 25, 30, 29, 31, 26, 28, 27, 32cgr3swap12 28039 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ βŸ¨β€œπ‘Œπ‘‹π‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΅π΄πΆβ€βŸ©)
34 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘))
351, 12, 3, 13, 25, 29, 30, 31, 28, 26, 27, 33, 34tgbtwnxfr 28046 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
361, 2, 3, 25, 26, 27, 28, 35btwncolg2 28072 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐿𝐢) ∨ 𝐴 = 𝐢))
374adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
386adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
398adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4010adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
4114adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
4218adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
4316adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
4420adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
451, 12, 3, 13, 37, 41, 43, 42, 38, 40, 39, 44cgr3swap23 28040 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘π‘Œβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ΄πΆπ΅β€βŸ©)
46 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
471, 12, 3, 13, 37, 41, 42, 43, 38, 39, 40, 45, 46tgbtwnxfr 28046 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
481, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 47btwncolg3 28073 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐿𝐢) ∨ 𝐴 = 𝐢))
49 lnxfr.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
501, 2, 3, 4, 14, 18, 16tgcolg 28070 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘) ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))))
5149, 50mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘) ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
5224, 36, 48, 51mpjao3dan 1429 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐿𝐢) ∨ 𝐴 = 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  βŸ¨β€œcs3 14799  Basecbs 17150  distcds 17212  TarskiGcstrkg 27943  Itvcitv 27949  LineGclng 27950  cgrGccgrg 28026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 27964  df-trkgb 27965  df-trkgcb 27966  df-trkg 27969  df-cgrg 28027
This theorem is referenced by:  symquadlem  28205  midexlem  28208  trgcopy  28320
  Copyright terms: Public domain W3C validator