MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnxfr 25879
Description: Transfer law for colinearity. Theorem 4.13 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
lnxfr.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnxfr.2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
Assertion
Ref Expression
lnxfr (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem lnxfr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 lnxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
8 lnxfr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
10 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
12 eqid 2826 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
13 lnxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
14 tglngval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
1514adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
16 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
1716adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
18 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
1918adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
20 lnxfr.2 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2120adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
22 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
231, 12, 3, 13, 5, 15, 17, 19, 7, 11, 9, 21, 22tgbtwnxfr 25843 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
241, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 23btwncolg1 25868 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
254adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
266adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
278adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
2810adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
2916adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
3014adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
3118adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
3220adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
331, 12, 3, 13, 25, 30, 29, 31, 26, 28, 27, 32cgr3swap12 25836 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
34 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
351, 12, 3, 13, 25, 29, 30, 31, 28, 26, 27, 33, 34tgbtwnxfr 25843 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
361, 2, 3, 25, 26, 27, 28, 35btwncolg2 25869 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
374adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
386adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
398adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶𝑃)
4010adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
4114adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
4218adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
4316adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
4420adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
451, 12, 3, 13, 37, 41, 43, 42, 38, 40, 39, 44cgr3swap23 25837 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩)
46 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
471, 12, 3, 13, 37, 41, 42, 43, 38, 39, 40, 45, 46tgbtwnxfr 25843 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
481, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 47btwncolg3 25870 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
49 lnxfr.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
501, 2, 3, 4, 14, 18, 16tgcolg 25867 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
5149, 50mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
5224, 36, 48, 51mpjao3dan 1562 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 880  w3o 1112   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  ⟨“cs3 13964  Basecbs 16223  distcds 16315  TarskiGcstrkg 25743  Itvcitv 25749  LineGclng 25750  cgrGccgrg 25823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657  df-s2 13970  df-s3 13971  df-trkgc 25761  df-trkgb 25762  df-trkgcb 25763  df-trkg 25766  df-cgrg 25824
This theorem is referenced by:  symquadlem  26002  midexlem  26005  trgcopy  26114
  Copyright terms: Public domain W3C validator