MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01ln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdim01ln 27506
Description: In geometries of dimension less than two, then any three points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
tgdim01ln.1 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
tgdim01ln (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem tgdim01ln
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
12 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg1 27497 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
144adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
168adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
1710adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
18 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
191, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18btwncolg2 27498 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
204adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
216adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
228adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
2310adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
24 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
251, 2, 3, 20, 21, 22, 23, 24btwncolg3 27499 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
26 tgdim01ln.1 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
271, 3, 4, 26, 6, 8, 10tgdim01 27449 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
2813, 19, 25, 27mpjao3dan 1431 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  2c2 12208  Basecbs 17083  TarskiGcstrkg 27369  DimTarskiGcstrkgld 27373  Itvcitv 27375  LineGclng 27376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-trkgc 27390  df-trkgcb 27392  df-trkgld 27394  df-trkg 27395
This theorem is referenced by:  ncoltgdim2  27507
  Copyright terms: Public domain W3C validator