MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragflat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragflat 28721
Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragflat.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ragflat (𝜑𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝜑𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2 israg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 israg.d . . 3 = (dist‘𝐺)
4 israg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 israg.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 israg.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 israg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
109adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐴𝑃)
11 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝑃)
13 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶𝑃)
15 eqid 2734 . . . 4 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
162, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircl 28678 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17 ragflat.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1817adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
192, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircgr 28674 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 𝐴))
202, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19tgcgrcomlr 28497 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (𝐴 𝐶))
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14israg 28714 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
2218, 21mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
23 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
242, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mircl 28678 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ((𝑆𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25 ragflat.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
272, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26ragcom 28715 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
292, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mirbtwn 28675 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
302, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29tgbtwncom 28505 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐵)‘𝐶)))
312, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30btwncolg1 28572 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
322, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31ragcol 28716 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
332, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10israg 28714 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) ((𝑆𝐶)‘𝐴))))
3432, 33mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) ((𝑆𝐶)‘𝐴)))
352, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34tgcgrcomlr 28497 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
3620, 22, 353eqtrd 2778 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
372, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14israg 28714 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
3836, 37mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
392, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mirbtwn 28675 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
402, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39tgbtwncom 28505 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆𝐶)‘𝐴)))
412, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40ragflat2 28720 . 2 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
421, 41pm2.61dane 3031 1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  cfv 6572  (class class class)co 7445  ⟨“cs3 14887  Basecbs 17253  distcds 17315  TarskiGcstrkg 28444  Itvcitv 28450  LineGclng 28451  pInvGcmir 28669  ∟Gcrag 28710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-oadd 8522  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-trkgc 28465  df-trkgb 28466  df-trkgcb 28467  df-trkg 28470  df-cgrg 28528  df-mir 28670  df-rag 28711
This theorem is referenced by:  ragtriva  28722  footexALT  28735  footexlem2  28737  foot  28739
  Copyright terms: Public domain W3C validator