MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragflat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragflat 27644
Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragflat.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ragflat (𝜑𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((𝜑𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2 israg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 israg.d . . 3 = (dist‘𝐺)
4 israg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 israg.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 israg.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 israg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
109adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐴𝑃)
11 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1211adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝑃)
13 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1413adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶𝑃)
15 eqid 2736 . . . 4 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
162, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircl 27601 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17 ragflat.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1817adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
192, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircgr 27597 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 𝐴))
202, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19tgcgrcomlr 27420 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (𝐴 𝐶))
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14israg 27637 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
2218, 21mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
23 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
242, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mircl 27601 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ((𝑆𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25 ragflat.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
272, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26ragcom 27638 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
292, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mirbtwn 27598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
302, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29tgbtwncom 27428 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐵)‘𝐶)))
312, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30btwncolg1 27495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
322, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31ragcol 27639 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
332, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10israg 27637 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) ((𝑆𝐶)‘𝐴))))
3432, 33mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) ((𝑆𝐶)‘𝐴)))
352, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34tgcgrcomlr 27420 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
3620, 22, 353eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
372, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14israg 27637 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
3836, 37mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
392, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mirbtwn 27598 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
402, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39tgbtwncom 27428 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆𝐶)‘𝐴)))
412, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40ragflat2 27643 . 2 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
421, 41pm2.61dane 3032 1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  (class class class)co 7356  ⟨“cs3 14730  Basecbs 17082  distcds 17141  TarskiGcstrkg 27367  Itvcitv 27373  LineGclng 27374  pInvGcmir 27592  ∟Gcrag 27633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-hash 14230  df-word 14402  df-concat 14458  df-s1 14483  df-s2 14736  df-s3 14737  df-trkgc 27388  df-trkgb 27389  df-trkgcb 27390  df-trkg 27393  df-cgrg 27451  df-mir 27593  df-rag 27634
This theorem is referenced by:  ragtriva  27645  footexALT  27658  footexlem2  27660  foot  27662
  Copyright terms: Public domain W3C validator