Theorem ragflat 28772

Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragflat.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragflat	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
13		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
16	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircl 28729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17		ragflat.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircgr 28725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
20	2, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19	tgcgrcomlr 28548	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14	israg 28765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
22	18, 21	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
23		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
24	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mircl 28729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25		ragflat.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26	ragcom 28766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
29	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mirbtwn 28726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
30	2, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29	tgbtwncom 28556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
31	2, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30	btwncolg1 28623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
32	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31	ragcol 28767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	2, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10	israg 28765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))))
34	32, 33	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
35	2, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34	tgcgrcomlr 28548	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
36	20, 22, 35	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
37	2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14	israg 28765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
38	36, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mirbtwn 28726	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
40	2, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39	tgbtwncom 28556	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
41	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40	ragflat2 28771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
42	1, 41	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ⟨“cs3 14804  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28495  Itvcitv 28501  LineGclng 28502  pInvGcmir 28720  ∟Gcrag 28761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-trkgc 28516  df-trkgb 28517  df-trkgcb 28518  df-trkg 28521  df-cgrg 28579  df-mir 28721  df-rag 28762

This theorem is referenced by:  ragtriva  28773  footexALT  28786  footexlem2  28788  foot  28790