Theorem ragflat 26482

Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragflat.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragflat	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
13		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
16	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircl 26439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17		ragflat.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircgr 26435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
20	2, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19	tgcgrcomlr 26258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14	israg 26475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
22	18, 21	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
23		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
24	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mircl 26439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25		ragflat.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
26	25	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26	ragcom 26476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
29	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mirbtwn 26436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
30	2, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29	tgbtwncom 26266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
31	2, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30	btwncolg1 26333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
32	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31	ragcol 26477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	2, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10	israg 26475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))))
34	32, 33	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
35	2, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34	tgcgrcomlr 26258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
36	20, 22, 35	3eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
37	2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14	israg 26475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
38	36, 37	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mirbtwn 26436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
40	2, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39	tgbtwncom 26266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
41	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40	ragflat2 26481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
42	1, 41	pm2.61dane 3102	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ⟨“cs3 14196  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26208  Itvcitv 26214  LineGclng 26215  pInvGcmir 26430  ∟Gcrag 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-trkgc 26226  df-trkgb 26227  df-trkgcb 26228  df-trkg 26231  df-cgrg 26289  df-mir 26431  df-rag 26472

This theorem is referenced by:  ragtriva  26483  footexALT  26496  footexlem2  26498  foot  26500