Theorem ragflat 26969

Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragflat.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragflat	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
13		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
16	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircl 26926	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17		ragflat.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircgr 26922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
20	2, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19	tgcgrcomlr 26745	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14	israg 26962	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
22	18, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
23		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
24	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mircl 26926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25		ragflat.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26	ragcom 26963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
29	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mirbtwn 26923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
30	2, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29	tgbtwncom 26753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
31	2, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30	btwncolg1 26820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
32	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31	ragcol 26964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	2, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10	israg 26962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))))
34	32, 33	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
35	2, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34	tgcgrcomlr 26745	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
36	20, 22, 35	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
37	2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14	israg 26962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
38	36, 37	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mirbtwn 26923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
40	2, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39	tgbtwncom 26753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
41	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40	ragflat2 26968	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
42	1, 41	pm2.61dane 3031	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ⟨“cs3 14483  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700  pInvGcmir 26917  ∟Gcrag 26958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776  df-mir 26918  df-rag 26959

This theorem is referenced by:  ragtriva  26970  footexALT  26983  footexlem2  26985  foot  26987