MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragflat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragflat 28732
Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragflat.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ragflat (𝜑𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝜑𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2 israg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 israg.d . . 3 = (dist‘𝐺)
4 israg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 israg.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 israg.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 israg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
109adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐴𝑃)
11 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝑃)
13 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶𝑃)
15 eqid 2740 . . . 4 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
162, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircl 28689 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17 ragflat.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1817adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
192, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircgr 28685 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐶 ((𝑆𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 𝐴))
202, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19tgcgrcomlr 28508 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (𝐴 𝐶))
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14israg 28725 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
2218, 21mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
23 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
242, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mircl 28689 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ((𝑆𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25 ragflat.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
272, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26ragcom 28726 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
292, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mirbtwn 28686 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
302, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29tgbtwncom 28516 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆𝐵)‘𝐶)))
312, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30btwncolg1 28583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
322, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31ragcol 28727 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
332, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10israg 28725 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“((𝑆𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) ((𝑆𝐶)‘𝐴))))
3432, 33mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) ((𝑆𝐶)‘𝐴)))
352, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34tgcgrcomlr 28508 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
3620, 22, 353eqtrd 2784 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
372, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14israg 28725 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → (⟨“((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆𝐶)‘𝐴) 𝐶) = (((𝑆𝐶)‘𝐴) ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
3836, 37mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → ⟨“((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
392, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mirbtwn 28686 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
402, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39tgbtwncom 28516 . . 3 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆𝐶)‘𝐴)))
412, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40ragflat2 28731 . 2 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
421, 41pm2.61dane 3035 1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  cfv 6575  (class class class)co 7450  ⟨“cs3 14893  Basecbs 17260  distcds 17322  TarskiGcstrkg 28455  Itvcitv 28461  LineGclng 28462  pInvGcmir 28680  ∟Gcrag 28721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-oadd 8528  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-dju 9972  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-s1 14646  df-s2 14899  df-s3 14900  df-trkgc 28476  df-trkgb 28477  df-trkgcb 28478  df-trkg 28481  df-cgrg 28539  df-mir 28681  df-rag 28722
This theorem is referenced by:  ragtriva  28733  footexALT  28746  footexlem2  28748  foot  28750
  Copyright terms: Public domain W3C validator