Theorem ragflat 29179

Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragflat.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragflat	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
13		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
16	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircl 29133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17		ragflat.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircgr 29129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
20	2, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19	tgcgrcomlr 28942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14	israg 29172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
22	18, 21	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
23		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
24	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mircl 29133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25		ragflat.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26	ragcom 29173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
29	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mirbtwn 29130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
30	2, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29	tgbtwncom 28951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
31	2, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30	btwncolg1 29018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
32	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31	ragcol 29174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	2, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10	israg 29172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))))
34	32, 33	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
35	2, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34	tgcgrcomlr 28942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
36	20, 22, 35	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
37	2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14	israg 29172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
38	36, 37	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mirbtwn 29130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
40	2, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39	tgbtwncom 28951	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
41	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40	ragflat2 29178	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
42	1, 41	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14993  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  pInvGcmir 29124  ∟Gcrag 29168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-mir 29125  df-rag 29169

This theorem is used by:  ragtriva  29180  footexALT  29193  footexlem2  29195  foot  29197