MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcolg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcolg 28238
Description: We choose the notation (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ) instead of "colinear" in order to avoid defining an additional symbol for colinearity because LineG is a common structure slot for other axiomatizations of geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglngval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglngval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglngval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
tgcolg.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgcolg (πœ‘ β†’ ((𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))

Proof of Theorem tgcolg
StepHypRef Expression
1 animorr 976 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ))
2 tglngval.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 eqid 2731 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
4 tglngval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 tglngval.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tgcolg.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
87adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
9 tglngval.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
109adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
112, 3, 4, 6, 8, 10tgbtwntriv2 28171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
12 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
1312oveq2d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑍𝐼𝑋) = (π‘πΌπ‘Œ))
1411, 13eleqtrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ))
15143mix2d 1336 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
161, 152thd 265 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ ((𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
1817neneqd 2944 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
19 biorf 934 . . . . 5 (Β¬ 𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))))
2018, 19syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))))
21 orcom 867 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ))
2220, 21bitrdi 287 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
23 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
245adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
259adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
26 tglngval.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
2726adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
287adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
292, 23, 4, 24, 25, 27, 17, 28tgellng 28237 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3022, 29bitr3d 281 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3116, 30pm2.61dane 3028 1 (πœ‘ β†’ ((𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28111  Itvcitv 28117  LineGclng 28118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-trkgc 28132  df-trkgcb 28134  df-trkg 28137
This theorem is referenced by:  btwncolg1  28239  btwncolg2  28240  btwncolg3  28241  colcom  28242  colrot1  28243  lnxfr  28250  lnext  28251  tgfscgr  28252  tglowdim2l  28334  outpasch  28439
  Copyright terms: Public domain W3C validator